Probabilidad: Bayes, total, independencia

Para qué sirve este tema

Sirve para calcular probabilidades en situaciones donde la información llega por partes: sabes algo (una pista, un resultado parcial, una clasificación previa) y quieres calcular la probabilidad de otra cosa. Es la base de todo lo que viene después: variables aleatorias, distribuciones e inferencia. En el examen de PyE casi siempre cae al menos un apartado de Bayes o probabilidad total.

Cuándo aplicarlo (señales del enunciado)

• "Sabiendo que...", "dado que...", "si ha ocurrido..." → probabilidad condicionada $P(A\mid B)$.
• El enunciado clasifica la población en grupos disjuntos (niveles bajo/medio/alto, máquinas 1/2/3, urna A/B/C) y te da la probabilidad de un suceso dentro de cada grupo → probabilidad total.
• Te dan el resultado (efecto) y te piden la causa ("si NO ha repetido, ¿qué nivel es más probable?", "si la pieza es defectuosa, ¿de qué máquina viene?") → Bayes.
• Dos lanzamientos, dos máquinas, dos personas que actúan por separado y nada sugiere influencia mutua → independencia: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Aparecen porcentajes condicionados ("el 49% de los de nivel bajo repite") → ya te están dando $P(R\mid B)$, no $P(R\cap B)$. ¡Ojo con confundirlos!

Conceptos clave

Probabilidad condicionada

• Idea: la probabilidad de $A$ cuando ya sabes que ha ocurrido $B$. Se restringe el espacio muestral a $B$.
• Fórmula clave: $$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\text{si }P(B)>0$$
• Cuándo se usa: siempre que el enunciado diga "sabiendo que", "dado que" o te restrinja a un subgrupo.

Regla del producto

• Idea: despejando la condicionada se obtiene la intersección.
• Fórmula clave: $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)$.
• Cuándo se usa: para calcular intersecciones cuando el experimento ocurre por etapas (primero pasa una cosa, luego otra que depende de la primera).

Independencia

• Idea: saber $B$ no cambia la probabilidad de $A$.
• Fórmula clave: $A$ y $B$ son independientes $⟺P(A\cap B)=P(A)P(B)⟺P(A\mid B)=P(A)$.
• Cuándo se usa: lanzamientos repetidos de la misma moneda, máquinas que trabajan por separado, individuos sin relación. Cuidado: "disjuntos" $\ne$ "independientes" (de hecho, dos sucesos con $P>0$ disjuntos son dependientes).

Probabilidad total

• Idea: si los sucesos $A_1,\dots ,A_n$ forman una partición del espacio (disjuntos y su unión es todo), la probabilidad de $B$ es la media ponderada de $P(B\mid A_i)$ con pesos $P(A_i)$.
• Fórmula clave: $$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(B\mid A_i)P(A_i)$$
• Cuándo se usa: cuando la población está dividida en grupos y te dan la tasa del suceso en cada grupo.

Teorema de Bayes

• Idea: dar la vuelta a la condicional. Conoces $P(B\mid A_i)$ y quieres $P(A_i\mid B)$.
• Fórmula clave: $$P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{{\sum }_{j}P(B\mid A_j)P(A_j)}=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{P(B)}$$
• Cuándo se usa: te dan el efecto (la observación) y preguntan por la causa (de qué grupo procede). El denominador es siempre la probabilidad total de $B$.

Sucesos complementarios

• Idea: $P(\bar{A})=1-P(A)$. Útil cuando "al menos uno" es más fácil de calcular como $1-P(\text{ninguno})$.
• Fórmula clave: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (inclusión-exclusión).

Plantilla de resolución

1. Define los sucesos con letras claras (B = nivel bajo, R = repetir, etc.) y escribe los datos como probabilidades: marginales ($P(A_i)$) y condicionadas ($P(B\mid A_i)$).
2. Dibuja el árbol o una tabla 2x2 / 3x2 si hay pocos casos. Cada rama lleva una probabilidad; al final multiplicas para obtener intersecciones.
3. Identifica qué te piden:

- ¿Una intersección? → regla del producto por el árbol.

- ¿La probabilidad marginal del efecto? → probabilidad total (suma de ramas que llevan a $B$).

- ¿Una condicional invertida "dado el efecto"? → Bayes.

1. Aplica la fórmula. Si es Bayes, calcula primero $P(B)$ por probabilidad total y luego divide.
2. Comprueba que la suma de las $P(A_i\mid B)$ sobre todos los grupos da 1 (control de errores).

Mini-ejemplo paso a paso

Una fábrica tiene 3 máquinas: M1 produce el 50% de las piezas, M2 el 30% y M3 el 20%. La tasa de piezas defectuosas (D) es 2% en M1, 4% en M2 y 5% en M3. Se toma una pieza al azar.

(a) ¿Probabilidad de que sea defectuosa? Probabilidad total:

$$P(D)=0,02\cdot 0,5+0,04\cdot 0,3+0,05\cdot 0,2=0,010+0,012+0,010=0,032$$

(b) Si la pieza es defectuosa, ¿de qué máquina viene con más probabilidad? Bayes:

$$P(M_1\mid D)=\frac{0,010}{0,032}\approx 0,3125$$

$$P(M_2\mid D)=\frac{0,012}{0,032}=0,375$$

$$P(M_3\mid D)=\frac{0,010}{0,032}\approx 0,3125$$

Suma: $0,3125+0,375+0,3125=1$ ✓. La más probable es M2.

Errores típicos

• Confundir $P(A\cap B)$ con $P(A\mid B)$. Si el dato es "el 49% de los de nivel bajo repite", eso es $P(R\mid B)=0,49$, no $P(R\cap B)$.
• Sumar probabilidades sin comprobar que los sucesos son disjuntos. Solo se suma directamente si lo son.
• Pensar que disjuntos = independientes. Son lo contrario: si son disjuntos y ambos tienen $P>0$, son dependientes.
• Olvidar dividir por $P(B)$ en Bayes (quedarse con la intersección sin normalizar).
• En probabilidad total, no comprobar que los $A_i$ son partición (deben sumar 1 sus probabilidades).
• Aplicar $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ cuando los sucesos NO son independientes.
• Para "al menos uno", no usar el complementario y liarse con inclusión-exclusión de más sucesos.

Resumen en una tarjeta

• $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$. Lee siempre el enunciado para distinguir intersección vs. condicionada.
• Probabilidad total: suma sobre grupos disjuntos $\sum P(B\mid A_i)P(A_i)$.
• Bayes: $P(A_i\mid B)=P(B\mid A_i)P(A_i)/P(B)$; el denominador sale por probabilidad total.
• Independientes $⟺P(A\cap B)=P(A)P(B)$. No confundir con disjuntos.
• Dibuja el árbol: te resuelve el 90% de los problemas del tema.