Variables aleatorias discretas

Para qué sirve este tema

Cuando algo se cuenta (nº de éxitos, nº de llegadas, nº de fallos), no se mide en una escala continua: el resultado es un entero. Este tema te da los modelos estándar para esos conteos —principalmente binomial y Poisson— y te enseña a sacarles probabilidades, esperanzas y, en problemas tipo "ganancia", el valor esperado de un negocio.

Cuándo aplicarlo (señales del enunciado)

• "de N pruebas / de N intentos / de N piezas, ¿cuántas...?" → Binomial $B(n,p)$ con $n$ fijo y conocido.
• "nº de llegadas/sucesos por unidad de tiempo/área/longitud" → Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$.
• "al menos / como mucho / entre k y m" → usa la función de distribución $F(x)=P(X\le x)$ y resta.
• "hasta el primer éxito / nº de intentos hasta" → Geométrica (rara en UPM, pero apárece).
• "ganancia esperada / coste medio por unidad" → calcula $E[g(X)]=\sum g(x_i)p_i$.
• Pista numérica clave: si en los datos $\bar{x}\approx s^2$ → Poisson. Si $\bar{x}>s^2$ → Binomial. Si $\bar{x}<s^2$ → Binomial negativa (poco habitual aquí).
• "ajustar un modelo a estos datos" → momentos a mano + Statgraphics + ${\chi }^2$ de bondad de ajuste.

Conceptos clave

Variable aleatoria discreta

• Idea: una v.a. $X$ es discreta si toma valores en un conjunto numerable (0, 1, 2, ...). Se describe con su función de masa $p(x_i)=P(X=x_i)$ y su función de distribución $F(x)=P(X\le x)$.
• Propiedades: ${\sum }_{i}p(x_i)=1$, $F$ es escalonada, no decreciente, ${\lim }_{x\to -\infty }F=0$, ${\lim }_{x\to +\infty }F=1$.
• Cuándo se usa: siempre que cuentes.

Esperanza y varianza

• Idea: el "centro" y la "dispersión" de $X$.
• Fórmulas clave:

$$E[X]=\sum _i{x}_{i}p(x_i),\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X{]}^2$$

Para una función de la v.a.: $E[g(X)]={\sum }_{i}g(x_i)p(x_i)$.

• Cuándo se usa: ganancias esperadas, costes medios, comparación con momentos muestrales.

Distribución binomial $B(n,p)$

• Idea: nº de éxitos en $n$ ensayos independientes, cada uno con probabilidad $p$ de éxito.
• Fórmula clave:

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$$

$$E[X]=np,\text{Var}(X)=np(1-p)$$

• Cuándo se usa: $n$ fijo y conocido, ensayos independientes, $p$ constante. Estimas $p$ por momentos: $\hat{p}=\bar{x}/n$.

Distribución de Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$

• Idea: nº de sucesos raros en un intervalo, con tasa media $\lambda$.
• Fórmula clave:

$$P(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\dots$$

$$E[X]=\text{Var}(X)=\lambda$$

• Cuándo se usa: llegadas a una cola, defectos por metro, llamadas por hora. Escala con el intervalo: si $\lambda =2$ por minuto, en 5 min $\lambda =10$.

Ajuste y bondad de ajuste (${\chi }^2$) con Statgraphics

• Idea: ajustas el modelo (estimando parámetros) y compruebas si encaja con los datos.
• Procedimiento: estima $p$ o $\lambda$ por momentos ($\hat{p}=\bar{x}/n$ o $\hat{\lambda }=\bar{x}$). Luego en Statgraphics: Describir → Ajuste de distribución → Discretas. Lee el p-valor del test ${\chi }^2$.
• Decisión: si $p\text{-valor}>\alpha$ → no rechazas $H_0$ (el modelo encaja). Si $p\text{-valor}\le \alpha$ → rechazas.

Esperanza de ganancia

• Idea: cada resultado tiene una ganancia/coste asociado. Calculas $E[\text{ganancia}]$ sumando ganancia$\times$probabilidad sobre todos los casos.
• Fórmula clave:

$$E[G]=\sum _i{g}_i\cdot P({\text{caso}}_i)$$

• Cuándo se usa: "si cada acierto da X€ y cada fallo cuesta Y€, ¿se gana dinero?".

Plantilla de resolución

1. Identifica la variable: ¿qué cuenta exactamente? ¿En qué rango toma valores?
2. Elige el modelo: ¿hay $n$ fijo? → Binomial. ¿Tasa por unidad? → Poisson. Si te dan datos: compara $\bar{x}$ con $s^2$.
3. Estima parámetros por método de los momentos: $\hat{p}=\bar{x}/n$ o $\hat{\lambda }=\bar{x}$.
4. Compara con Statgraphics: comprueba que el ajuste de Statgraphics da los mismos valores.
5. Bondad de ajuste: lee el p-valor y compáralo con $\alpha$.
6. Calcula la probabilidad pedida: usa $F(x)$, descomponiendo $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-1)$.
7. Si piden esperanza/ganancia: aplica $E[g(X)]=\sum g(x_i)p(x_i)$ o linealidad $E[X_1+\cdots +X_n]=nE[X_1]$.

Mini-ejemplo paso a paso

Una fábrica produce piezas. En 12 piezas, el nº de defectuosas $X$ se modela. Datos de 50 lotes: $\bar{x}=2.4$, $s^2=1.9$.

Paso 1-2: $X$ cuenta éxitos (defectos) en $n=12$ pruebas fijas. Como $\bar{x}>s^2$, descartamos Poisson → $X\sim B(12,p)$.

Paso 3: $\hat{p}=\bar{x}/n=2.4/12=0.20$.

Paso 4: Statgraphics confirma $B(12,0.20)$.

Paso 5: Test ${\chi }^2$ da $p\text{-valor}=0.43$. Como $0.43>0.10=\alpha$, no rechazamos $H_0$: el ajuste es válido.

Paso 6: $P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)$. De tablas $B(12,0.20)$: $P(X\le 2)=0.5583$. Luego $P(X\ge 3)=0.4417$.

Paso 7: Si cada pieza defectuosa cuesta 5€ y cada buena da 1€, por lote de 12:

$$E[G]=12\cdot [1\cdot 0.8+(-5)\cdot 0.2]=12\cdot (-0.2)=-2.4\text{ €}$$

Pierdes 2.4€ por lote: hay que subir el precio o reducir defectos.

Errores típicos

• Confundir $P(X<k)$ con $P(X\le k)$ en discretas: $P(X<k)=P(X\le k-1)$.
• Olvidar que para $P(a\le X\le b)$ se resta $F(a-1)$, no $F(a)$.
• Aplicar Poisson sin escalar la tasa al intervalo del enunciado.
• Usar Binomial cuando $n$ no está fijo (o no existe "nº de ensayos" claro).
• Estimar $p$ olvidando dividir por $n$: $\hat{p}=\bar{x}/n$, no $\bar{x}$.
• En bondad de ajuste, rechazar $H_0$ cuando el p-valor es alto (es al revés: alto = aceptar).
• Calcular $E[g(X)]$ haciendo $g(E[X])$ (¡no es lo mismo!).

Resumen en una tarjeta

• Binomial: $n$ fijo, $\hat{p}=\bar{x}/n$, $E=np$, $\text{Var}=np(1-p)$.
• Poisson: tasa por unidad, $\hat{\lambda }=\bar{x}$, $E=\text{Var}=\lambda$, escala con el intervalo.
• Diagnóstico rápido: $\bar{x}\gtrless s^2$ → Binomial / Poisson.
• Bondad de ajuste: $p\text{-valor}>\alpha$ ⇒ aceptas el modelo.
• Ganancia esperada: $E[G]=\sum g_i\cdot p_i$; si $E[G]<0$, hay que reajustar precios.