Variables aleatorias continuas

Para qué sirve este tema

Muchas magnitudes reales (tiempo de servicio, longitudes, pesos, errores de medida) no toman valores aislados sino un continuo. Necesitas saber describirlas con una función de densidad $f(x)$, calcular probabilidades como áreas (integrales), reconocer los modelos clásicos (uniforme, exponencial, gamma, normal) y aplicar el Teorema Central del Límite para aproximar sumas/medias por una normal. Es el tema con más peso en el examen.

Cuándo aplicarlo (señales del enunciado)

• "Tiempo hasta que ocurre algo" / "tiempo entre llegadas" / "vida útil" → Exponencial.
• "Tiempo total para que ocurran $k$ sucesos" / suma de $k$ exponenciales independientes → Gamma $\Gamma (k,\beta )$.
• "Equiprobable en un intervalo $[a,b]$" / "al azar entre dos valores" → Uniforme continua.
• Te dan $f(x)$ a trozos y te piden $P(a<X<b)$, $E[X]$, $V[X]$ o $F(x)$ → densidad/distribución genérica (integrar).
• "Suma de $n$ variables" o "media muestral" con $n$ grande (≥ 30) → TCL, aproximas por normal.
• "Sabiendo que ya han pasado $s$, probabilidad de que dure más de $s+t$" → falta de memoria de la exponencial.
• Histograma asimétrico positivo, $X>0$, y $\bar{x}\ne s$ → Gamma (si $\bar{x}=s$ exponencial).

Conceptos clave

Función de densidad $f(x)$

• Idea: análogo continuo de la masa de probabilidad. La probabilidad de un punto es 0; las probabilidades son áreas bajo $f$.
• Propiedades:

$$f(x)\ge 0\forall x,{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1,P(a<X<b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

• Cuándo se usa: siempre que tengas una v.a. continua. Si $f$ está dada a trozos, integras en cada tramo.

Función de distribución $F(x)$

• Idea: probabilidad acumulada hasta $x$.
• Fórmulas clave:

$$F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt,f(x)=F^{\prime }(x)$$

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1,F\text{ es no decreciente y continua por la derecha}$$

• Cuándo se usa: para $P(a<X<b)=F(b)-F(a)$, o para obtener la densidad derivando.

Esperanza y varianza

• Idea: el centro y la dispersión de la distribución.
• Fórmulas:

$$E[X]={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx,V[X]=E[X^2]-E[X{]}^2$$

• Cuándo se usa: prácticamente en todos los apartados; también para alimentar el TCL.

Distribución uniforme $U(a,b)$

• Idea: todos los valores del intervalo son igualmente probables.
• Fórmulas:

$$f(x)=\frac{1}{b-a}\text{ si }x\in [a,b],E[X]=\frac{a+b}{2},V[X]=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

Distribución exponencial $\text{Exp}(\beta )$

• Idea: tiempo hasta el primer suceso de un proceso de Poisson de tasa $\beta$.
• Fórmulas:

$$f(x)=\beta e^{-\beta x},x\ge 0;F(x)=1-e^{-\beta x};E[X]=\frac{1}{\beta },V[X]=\frac{1}{{\beta }^2}$$

Falta de memoria: $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)=e^{-\beta t}$.

• Cuándo se usa: tiempos hasta fallo, tiempos entre llegadas. Estimación por momentos: $\hat{\beta }=1/\bar{x}$.

Distribución gamma $\Gamma (\alpha ,\beta )$

• Idea: generaliza la exponencial; suma de $\alpha$ exponenciales independientes de parámetro $\beta$ cuando $\alpha$ es entero.
• Fórmulas: $E[X]=\alpha /\beta$, $V[X]=\alpha /{\beta }^2$. Si $X_1,\dots ,X_k\sim \text{Exp}(\beta )$ indep., $\sum X_i\sim \Gamma (k,\beta )$.
• Cuándo se usa: variables continuas positivas, asimétricas, con $\bar{x}\ne s$.

Distribución normal $N(\mu ,\sigma )$ y tipificación

• Idea: la campana de Gauss. Aparece sola o como límite (TCL).
• Tipificación: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$. Buscas en tablas $P(Z\le z)$.

Teorema Central del Límite (TCL)

• Idea: la suma (y la media) de $n$ v.a. independientes con la misma media $\mu$ y varianza ${\sigma }^2$ se distribuye, para $n$ grande, aproximadamente como una normal.
• Fórmulas:

$$\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{a}{\sim }N\left(n\mu ,\sigma \sqrt{n}\right),\bar{X}\stackrel{a}{\sim }N\left(\mu ,\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$$

• Cuándo se usa: $n\ge 30$ (o si las $X_i$ ya son normales, exacto para cualquier $n$).

Plantilla de resolución

1. Identifica el tipo: ¿densidad genérica o un modelo conocido (uniforme/exponencial/gamma/normal)?
2. Anota datos: parámetros, soporte de $X$, qué te piden ($P(\cdot )$, $E[X]$, $F$, IC...).
3. Si es densidad genérica: comprueba/usa $\int f=1$ para hallar constantes, luego integra entre los límites pedidos.
4. Si es modelo conocido: aplica directamente la fórmula de $f$, $F$, $E$, $V$.
5. Si pide suma/media de muchas variables: aplica TCL → tipifica → tabla de la normal.
6. Si pide condicionada en exponencial: aprovecha la falta de memoria.
7. Comprueba unidades (¡pasa minutos a horas si el parámetro está en horas!).

Mini-ejemplo paso a paso

El tiempo (en horas) entre averías de una máquina sigue $\text{Exp}(\beta =0.4)$. (a) Probabilidad de que la próxima avería tarde más de 4 h. (b) En un año se producen 100 averías independientes; calcula la probabilidad de que el tiempo total supere 260 h.

(a) Modelo conocido. $P(X>4)=e^{-0.4\cdot 4}=e^{-1.6}\approx 0.2019$.

(b) Sea $Y={\sum }_{i=1}^{100}{X}_i$. Para cada $X_i$:

$$E[X_i]=\frac{1}{0.4}=2.5,V[X_i]=\frac{1}{0.4^2}=6.25$$

Entonces $E[Y]=100\cdot 2.5=250$, $V[Y]=100\cdot 6.25=625$, ${\sigma }_Y=25$. Por TCL, $Y\approx N(250,25)$:

$$P(Y>260)=P\left(Z>\frac{260-250}{25}\right)=P(Z>0.4)=1-0.6554=0.3446$$

Errores típicos

• Confundir $f(x)$ con probabilidad: $f$ puede valer >1; lo que es probabilidad es la integral.
• Olvidar el soporte: integrar fuera del rango donde $f\ne 0$.
• Mezclar unidades (minutos vs horas) con el parámetro $\beta$.
• En la exponencial, confundir $\beta$ (tasa) con $1/\beta$ (media); ojo con el enunciado.
• Aplicar TCL con $n$ pequeño cuando las $X_i$ no son normales.
• En problemas condicionados de exponencial, integrar a mano en lugar de usar falta de memoria.
• Tipificar con la varianza en lugar de la desviación típica.

Resumen en una tarjeta

• $f(x)\ge 0$, $\int f=1$, $P(a<X<b)={\int }_a^{b}f$; y $f=F^{\prime }$.
• Exponencial: $E=1/\beta$, $V=1/{\beta }^2$, $P(X>t)=e^{-\beta t}$, falta de memoria.
• Gamma$(\alpha ,\beta )$: suma de $\alpha$ exponenciales; $E=\alpha /\beta$, $V=\alpha /{\beta }^2$.
• TCL: $\sum X_i\approx N(n\mu ,\sigma \sqrt{n})$, $\bar{X}\approx N(\mu ,\sigma /\sqrt{n})$.
• Tipifica siempre con $\sigma$ (no con ${\sigma }^2$) y consulta la tabla de $N(0,1)$.