Estimación puntual e intervalos de confianza

Para qué sirve este tema

No conocemos los parámetros reales de la población ($\mu$, ${\sigma }^2$, $p$, parámetros de una binomial/Poisson...). A partir de una muestra damos: (1) una estimación puntual (un único número) y (2) un intervalo de confianza (IC) que dice entre qué valores está el parámetro con probabilidad $1-\alpha$. Es la base para responder a preguntas tipo "¿cuánto vale en media?" o "¿es plausible que valga $k$?".

Cuándo aplicarlo (señales del enunciado)

• "Estima los parámetros a mano" / "compara con Statgraphics" → método de los momentos (igualar momentos teóricos a muestrales).
• "Entre qué valores se encuentra..." / "con un 95% de confianza" → IC.
• "¿Se puede afirmar que $\mu =k$?" sin pedir contraste explícito → mira si $k$ está dentro del IC (equivalencia IC ↔ contraste bilateral).
• "$\sigma$ desconocida" + muestra pequeña + normalidad → t de Student.
• "$n$ grande" (≥30) → puedes usar Normal por TCL aunque $\sigma$ sea desconocida.
• "IC para la varianza/desviación típica" → ${\chi }_{n-1}^2$.
• "Proporción", "porcentaje", "% de éxitos" → IC para $p$ con Normal.
• "¿Qué tamaño muestral necesito para que el error sea $\le E$?" → fórmula de tamaño muestral.
• "Mismos individuos medidos dos veces" → muestras pareadas, trabaja con $D=X_1-X_2$.

Conceptos clave

Método de los momentos

• Idea: igualas los momentos teóricos del modelo (media, varianza) a los momentos muestrales ($\bar{x}$, $s^2$) y despejas los parámetros.
• Fórmula clave: para 1 parámetro, $E(X)=\bar{x}$. Para 2 parámetros, además $\text{Var}(X)=s^2$.
• Cuándo se usa: cuando piden estimar "a mano" parámetros de Binomial, Poisson, Exponencial, Uniforme, Normal... En binomial con $n$ fijo por enunciado: $\hat{p}=\bar{x}/n$.

IC para la media con $\sigma$ desconocida (t de Student)

• Idea: si la población es normal (o $n$ pequeño y pasa K-S) y no conoces $\sigma$, usas $t_{n-1}$.
• Fórmula clave: $$I{C}_{1-\alpha }(\mu )=\bar{x}\pm t_{n-1,\alpha /2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$
• Cuándo se usa: $n$ pequeño + normalidad verificada. Si $n$ es grande, $t_{n-1}\approx N(0,1)$ (TCL).

IC para la proporción

• Idea: para $p$ de una Bernoulli/binomial con muestra grande.
• Fórmula clave: $$I{C}_{1-\alpha }(p)=\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$
• Cuándo se usa: $n\hat{p}\ge 5$ y $n(1-\hat{p})\ge 5$.

IC para la varianza/desviación típica

• Idea: la varianza muestral escala con una ${\chi }^2$.
• Fórmula clave: $$I{C}_{1-\alpha }({\sigma }^2)=\left[\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{n-1,\alpha /2}^2},\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{n-1,1-\alpha /2}^2}\right]$$
• Cuándo se usa: población normal. Para $\sigma$, haz la raíz de los extremos. ¡Ojo, NO es simétrico!

Equivalencia IC ↔ contraste bilateral

• Idea: un IC al $1-\alpha$ contiene exactamente los valores ${\mu }_0$ que NO se rechazarían en un contraste bilateral $H_0:\mu ={\mu }_0$ al nivel $\alpha$.
• Cuándo se usa: cuando preguntan "¿se puede afirmar que $\mu$ vale exactamente $k$?". Si $k\in IC\Rightarrow$ sí. Si $k\notin IC\Rightarrow$ no.

Tamaño muestral y cota del error

• Idea: la semi-amplitud del IC es el error máximo $E$. Despejas $n$.
• Fórmula clave (media, $\sigma$ conocida o estimada): $$n\ge {\left(\frac{z_{\alpha /2}\cdot \sigma }{E}\right)}^2$$ Para proporción: $n\ge {\left(\frac{z_{\alpha /2}}{E}\right)}^2\hat{p}(1-\hat{p})$.
• Cuándo se usa: "con error máximo de $E$", "precisión $\pm E$". Siempre redondear hacia arriba.

Plantilla de resolución

1. Identifica qué parámetro estimas ($\mu$, $p$, ${\sigma }^2$, ${\mu }_D$...) y si la muestra es pareada/independiente.
2. Verifica hipótesis: normalidad (K-S en Statgraphics, $p$-valor > $\alpha$), $n$ grande, etc.
3. Elige el estadístico pivote: $t_{n-1}$, $N(0,1)$, ${\chi }_{n-1}^2$.
4. Lee de Statgraphics $\bar{x}$, $s$, $n$ y la semi-amplitud directamente si la da.
5. Construye el IC: $\text{estimacioˊn}\pm \text{cuantil}\cdot \text{error estaˊndar}$.
6. Interpreta: ¿está el valor preguntado dentro? Responde en castellano y con unidades.

Mini-ejemplo paso a paso

Una marca afirma que sus bombillas duran de media 1000 h. Mides $n=16$ bombillas: $\bar{x}=980$ h, $s=40$ h. Asume normalidad. Construye el IC al 95% para $\mu$ y di si es creíble la afirmación.

Paso 1: parámetro = $\mu$ (media de duración), una muestra, $\sigma$ desconocida.

Paso 2: la normalidad se asume por enunciado.

Paso 3: estadístico $T=\frac{\bar{X}-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim t_{15}$.

Paso 4: $\alpha =0.05\Rightarrow t_{15,0.025}=2.131$.

Paso 5: $$I{C}_{95\%}(\mu )=980\pm 2.131\cdot \frac{40}{\sqrt{16}}=980\pm 21.31=[958.69,1001.31]$$

Paso 6: $1000\in [958.69,1001.31]$ ✓. Al 95% sí es plausible que $\mu =1000$ h.

Errores típicos

• Usar $z$ en vez de $t_{n-1}$ con $\sigma$ desconocida y $n$ pequeño.
• Confundir $\alpha$ con $\alpha /2$ al buscar el cuantil (los IC son bilaterales).
• Dividir entre $\sqrt{n}$ en el IC de varianza (allí no hay raíz, se usan ${\chi }^2$).
• Olvidar verificar normalidad (K-S) antes de aplicar la $t$ con $n$ pequeño.
• Redondear el tamaño muestral hacia abajo: siempre hacia arriba.
• En pareadas, tratar las muestras como independientes: trabaja siempre con $D$.
• Confundir IC para ${\sigma }^2$ con IC para $\sigma$ (haz raíz al final).

Resumen en una tarjeta

• Puntual: método de los momentos $\Rightarrow$ iguala $E(X)=\bar{x}$ (y $\text{Var}=s^2$ si hace falta).
• Media ($\sigma$ desconocida): $\bar{x}\pm t_{n-1,\alpha /2}s/\sqrt{n}$.
• Proporción: $\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$.
• Varianza: usa ${\chi }_{n-1}^2$, intervalo no simétrico.
• IC ↔ contraste bilateral: si $k\in IC\Rightarrow$ no se rechaza $H_0:\theta =k$.
• Tamaño muestral: despeja de la semi-amplitud y redondea hacia arriba.