Contrastes de hipótesis

Para qué sirve este tema

Un contraste de hipótesis sirve para tomar una decisión estadística sobre una afirmación (una media, una proporción, una distribución…) usando datos muestrales. En el examen casi siempre hay que: (1) plantear $H_0$ vs $H_1$, (2) verificar normalidad con K-S, y (3) leer el p-valor de Statgraphics y compararlo con $\alpha$.

Cuándo aplicarlo (señales del enunciado)

• "¿Se puede afirmar que la media es…?" → contraste para la media con $t$-Student.
• "¿Es razonable que la proporción sea…?" → contraste para una proporción.
• "En más de X / al menos X / menor que X" → contraste unilateral. La dirección de $H_1$ es la que indica el verbo.
• "Exactamente X / es igual a X / es distinto de X" → contraste bilateral ($H_1:\mu \ne X$).
• "Verificar las hipótesis necesarias" → siempre haz K-S antes de $t$ o $F$.
• "¿Los datos siguen una distribución…?" → bondad de ajuste (${\chi }^2$ discreto, K-S continuo).
• "Comparar dos grupos / dos muestras" → primero $F$ para varianzas, luego $t$ (Welch si rechazas $H_0$ en $F$).
• "Mismos individuos medidos dos veces" → pareadas, contraste sobre $D=X_1-X_2$.

Conceptos clave

Hipótesis nula y alternativa

• Idea: $H_0$ es lo que se asume cierto por defecto (statu quo); $H_1$ es lo que el enunciado quiere demostrar.
• Fórmula clave: bilateral $H_0:\mu ={\mu }_0$ vs $H_1:\mu \ne {\mu }_0$; unilateral $H_1:\mu >{\mu }_0$ o $H_1:\mu <{\mu }_0$.
• Cuándo se usa: siempre. Pon en $H_1$ lo que el enunciado sospecha o quiere probar.

p-valor y nivel de significación α

• Idea: el p-valor es la probabilidad, asumiendo $H_0$ cierta, de obtener un estadístico tan extremo o más que el observado.
• Regla de decisión: si $p\text{-valor}<\alpha$ → se rechaza $H_0$. Si $p\text{-valor}\ge \alpha$ → no se rechaza.
• Bilateral vs unilateral: Statgraphics suele dar el p-valor bilateral. Para unilateral, si la dirección coincide con $H_1$, divide por 2; si no coincide, $p_{uni}=1-p_{bi}/2$.

Error tipo I y tipo II

• Idea: tipo I = rechazar $H_0$ siendo cierta (probabilidad $\alpha$). Tipo II = no rechazar $H_0$ siendo falsa (probabilidad $\beta$).
• Fórmula clave: $P(\text{tipo I})=\alpha$.
• Cuándo se usa: cuando piden "probabilidad de equivocarse rechazando" o "riesgo del contraste".

Contraste para la media con $t$-Student

• Idea: contrasta $\mu ={\mu }_0$ con $\sigma$ desconocida (lo habitual).
• Fórmula clave: $$t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}\text{ bajo }{H}_0$$
• Cuándo se usa: muestra pequeña, $\sigma$ desconocida, datos normales (verifica con K-S).

Contraste para una proporción

• Idea: contrasta $p=p_0$ con muestras grandes.
• Fórmula clave: $$Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\sim N(0,1)\text{ bajo }{H}_0$$
• Cuándo se usa: $n{p}_0\ge 5$ y $n(1-p_0)\ge 5$.

Prueba K-S de normalidad

• Idea: contrasta si una muestra proviene de una distribución continua (típicamente normal). Es la "puerta de entrada" antes de $t$, $F$ o IC.
• Hipótesis: $H_0$: los datos son normales vs $H_1$: no lo son.
• Cuándo se usa: siempre antes de aplicar $t$ o $F$ con $n$ pequeño. Si $p\text{-valor}>\alpha$ → aceptas normalidad y puedes seguir.

Test ${\chi }^2$ de bondad de ajuste

• Idea: contrasta si los datos siguen una distribución discreta dada (binomial, Poisson…).
• Fórmula clave: $${\chi }^2=\sum _i\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}\sim {\chi }_{k-1-r}^2$$ donde $k$ son las clases y $r$ los parámetros estimados.
• Cuándo se usa: datos discretos agrupados en clases; cada $E_i\ge 5$.

Dualidad IC ↔ contrastes

• Idea: un IC bilateral al $1-\alpha$ contiene todos los ${\mu }_0$ que no se rechazarían en un contraste bilateral al nivel $\alpha$.
• Cuándo se usa: si te piden decidir sobre varios valores, basta mirar si están dentro del IC.

Plantilla de resolución

1. Identifica el tipo: una muestra / dos independientes / pareadas / proporción / bondad de ajuste.
2. Plantea $H_0$ y $H_1$ (cuidado con la dirección del enunciado).
3. Verifica normalidad con K-S (compara su p-valor con $\alpha$).
4. Elige el estadístico correcto ($t$, $Z$, $F$, ${\chi }^2$).
5. Lee el p-valor en Statgraphics (ojo: bilateral vs unilateral).
6. Decide: si $p<\alpha$ → rechazas $H_0$; si no, no rechazas.
7. Interpreta en el contexto del problema (no te quedes en "rechazo $H_0$").

Mini-ejemplo paso a paso

Un fabricante afirma que el peso medio de sus barritas es ${\mu }_0=50$ g. Una muestra de $n=12$ da $\bar{x}=48.7$ g y $s=2.1$ g. Con $\alpha =0.05$, ¿podemos rechazar la afirmación?

1. Planteo (bilateral): $H_0:\mu =50$ vs $H_1:\mu \ne 50$.

2. K-S (suponemos $p\text{-valor}=0.42>0.05$): aceptamos normalidad.

3. Estadístico: $$t=\frac{48.7-50}{2.1/\sqrt{12}}=\frac{-1.3}{0.606}=-2.145$$

4. p-valor: con $t_{11}$, $p\text{-valor}\approx 0.055$.

5. Decisión: $0.055>0.05$ → no se rechaza $H_0$. No hay evidencia suficiente para desmentir al fabricante (por poco).

6. Si fuera unilateral ($H_1:\mu <50$): $p_{uni}=0.055/2\approx 0.0275<0.05$ → sí se rechaza. Lección: la dirección importa.

Errores típicos

• Poner en $H_1$ lo de defecto en lugar de lo que el enunciado quiere demostrar.
• Olvidar K-S antes de $t$ o $F$ (te quitan puntos aunque el resto esté bien).
• Confundir p-valor bilateral con unilateral (Statgraphics da el bilateral por defecto).
• Decir "se acepta $H_0$" como si fuera demostración. Lo correcto: "no se rechaza $H_0$".
• En dos muestras: aplicar $t$ con varianzas iguales sin hacer antes el $F$.
• En pareadas: tratarlas como independientes (¡error grave!).
• Comparar el estadístico con $\alpha$ en vez de comparar el p-valor con $\alpha$.

Resumen en una tarjeta

• Regla de oro: $p\text{-valor}<\alpha$ → rechazo $H_0$.
• Antes de $t$ o $F$: siempre K-S de normalidad.
• Dirección de $H_1$: la marca el verbo del enunciado ("mayor", "menor", "distinto").
• Bilateral: divide $p$ entre 2 para pasar a unilateral (si va en la dirección correcta).
• Interpreta: traduce el resultado al lenguaje del problema, no te quedes en lo técnico.