Comparación de dos muestras

Para qué sirve este tema

Decidir si dos grupos (hombres vs mujeres, antes vs después, marca A vs marca B...) se diferencian en su media o en su variabilidad. Es la herramienta estrella de la inferencia aplicada: casi cualquier estudio comparativo cae aquí.

Cuándo aplicarlo (señales del enunciado)

• Aparecen dos grupos o dos mediciones: vas a este tema.
• "Los mismos individuos medidos dos veces" / "antes y después" / "con A y con B en el mismo sujeto" → muestras pareadas (trabajas con $D=X_1-X_2$, una sola muestra).
• "Grupo de chicos vs grupo de chicas", tamaños distintos, sujetos distintos → muestras independientes.
• "¿Tienen la misma dispersión / varianza?" → contraste F.
• "¿Tienen la misma media?" o "¿la media de A es mayor que la de B en más de k?" → contraste t.
• Si te piden ambos: primero F, luego t. El F te dice si en la t asumes varianzas iguales o distintas (Welch).
• Antes de F o t siempre verifica normalidad con Kolmogorov-Smirnov (KS).

Conceptos clave

Independientes vs pareadas

• Idea: Pareadas = mismo individuo dos veces (correlación interna). Independientes = dos grupos sin relación entre sujetos.
• Regla: si puedes restar fila a fila con sentido físico, son pareadas.
• Consecuencia: pareadas se resuelven como una muestra única de $D$; independientes requieren F + t.

Contraste F de varianzas (muestras independientes)

• Idea: comparar ${\sigma }_1^2$ y ${\sigma }_2^2$ vía el cociente de cuasivarianzas muestrales.
• Fórmula clave: $$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\sim F_{n_1-1,n_2-1}\text{ bajo }{H}_0$$
• Cuándo se usa: ambas poblaciones normales, muestras independientes. Truco: pon en el numerador la muestra que en $H_1$ "debe" tener mayor varianza, así $H_1$ queda como $>1$ y el contraste es unilateral derecho.

Contraste t de medias, varianzas iguales

• Idea: si el F no rechaza, usamos la cuasivarianza ponderada $s_p^2$.
• Fórmula clave: $$t=\frac{({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)-{\Delta }_0}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t_{n_1+n_2-2}$$ con $s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$.
• Cuándo se usa: normalidad + varianzas iguales (no se rechaza el F).

Contraste t de Welch, varianzas distintas

• Idea: si el F sí rechaza, no podemos juntar varianzas.
• Fórmula clave: $$t=\frac{({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)-{\Delta }_0}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$$ con grados de libertad de Welch (Statgraphics los calcula).
• Cuándo se usa: normalidad pero varianzas distintas. En Statgraphics marcas la casilla "unequal variances".

t para muestras pareadas

• Idea: reduces el problema a una sola muestra de diferencias $D_i=X_{1i}-X_{2i}$ y aplicas la t de una muestra.
• Fórmula clave: $$T=\frac{\bar{D}-{\mu }_{D,0}}{s_D/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$$
• IC: $\bar{D}\pm t_{n-1,\alpha /2}\cdot s_D/\sqrt{n}$.
• Cuándo se usa: mismos individuos, dos mediciones. Verifica normalidad de $D$, no de cada muestra por separado.

p-valor y decisión

• Regla universal: si $p\text{-valor}<\alpha$ → rechazas $H_0$. Si $\ge \alpha$ → no rechazas.
• En contrastes unilaterales, Statgraphics suele dar el p-valor bilateral; divide entre 2 si la dirección coincide con $H_1$.

Plantilla de resolución

1. Identifica el tipo de muestras: pareadas vs independientes.
2. Plantea $H_0$ y $H_1$ con cuidado de la dirección (¿bilateral o unilateral? ¿qué grupo en numerador?).
3. Verifica normalidad con KS en cada muestra (independientes) o en $D$ (pareadas). Compara $p$ con $\alpha$.
4. Si son independientes y piden comparar medias: haz primero el contraste F de varianzas. Decide si asumes varianzas iguales o no.
5. Aplica el contraste t adecuado (clásico, Welch o pareado) leyendo estadístico y $p$-valor en Statgraphics.
6. Decide comparando $p$-valor con $\alpha$ y escribe la conclusión en lenguaje del enunciado.
7. Si te piden IC: usa la misma estructura $\text{estimador}\pm t_{gl,\alpha /2}\cdot \text{ES}$. Para decidir si un valor $k$ es plausible, comprueba si $k$ está dentro del IC.

Mini-ejemplo paso a paso

Se comparan los tiempos (s) de dos métodos de entrenamiento, A y B, en grupos distintos de atletas. $n_A=12$, ${\bar{x}}_A=14.8$, $s_A=1.2$. $n_B=10$, ${\bar{x}}_B=13.5$, $s_B=0.6$. ¿Es la media de A mayor que la de B en más de 1 segundo? $\alpha =0.05$.

Paso 1: muestras independientes (atletas distintos).

Paso 2: $H_0:{\mu }_A-{\mu }_B\le 1$ vs $H_1:{\mu }_A-{\mu }_B>1$.

Paso 3: KS en cada muestra → $p$-valores $0.6$ y $0.4$, ambos $>0.05$: aceptamos normalidad.

Paso 4 (F): $F=s_A^2/s_B^2=1.44/0.36=4$. Con $F_{11,9}$, $p$-valor unilateral $\approx 0.02<0.05$: rechazamos varianzas iguales → usamos Welch.

Paso 5 (t Welch): $$t=\frac{(14.8-13.5)-1}{\sqrt{1.44/12+0.36/10}}=\frac{0.3}{\sqrt{0.156}}\approx 0.76$$ Con gl de Welch $\approx 17$, $p$-valor unilateral $\approx 0.23>0.05$.

Paso 6: No se rechaza $H_0$. No hay evidencia para afirmar que A supere a B en más de 1 s.

Errores típicos

• Tratar muestras pareadas como independientes (o al revés): siempre lees el enunciado para ver si los datos están emparejados.
• Saltarse la verificación de normalidad antes de F y t.
• En pareadas, hacer KS sobre cada columna en vez de sobre $D$.
• Equivocar la dirección en el F: mete en el numerador la varianza que crees mayor.
• Olvidar dividir entre 2 el p-valor cuando el contraste es unilateral y el software te lo da bilateral.
• Confundir $\alpha =0.04$ con confianza $96\%$ (no $94\%$): siempre $1-\alpha$.
• En IC, responder solo "sí/no" sin comprobar la pertenencia del valor al intervalo.

Resumen en una tarjeta

• Pareadas → una muestra de $D$. Independientes → F y luego t.
• F decide si la t es "varianzas iguales" (no rechaza) o "Welch" (rechaza).
• Antes de todo: KS para normalidad, comparando $p$-valor con $\alpha$.
• Decisión: $p<\alpha$ → rechazo $H_0$; valor dentro del IC → es plausible.
• En Statgraphics: "Compare Two Samples" para independientes, "Paired-Sample Comparison" para pareadas. Lee F, p, IC y listo.