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Para qué sirve este tema

Resume una muestra de datos: dónde está el centro, cuánto se dispersa, qué forma tiene y si hay valores raros. Además, cuando tienes dos variables, te dice si están relacionadas linealmente y te da una recta para predecir una a partir de la otra. Es la base de toda la asignatura: si no sabes leer una salida de Statgraphics, vas a sufrir en los demás temas.

Cuándo aplicarlo (señales del enunciado)

"Calcular e interpretar el percentil $p$ " → vas a Describir → Datos numéricos → Análisis de una variable → Opciones tabulares → Percentiles. La interpretación SIEMPRE es: "el $p %$ de los datos tiene un valor menor o igual a...".
"Porcentaje de datos entre $a$ y $b$ " → tabla de frecuencias (clases de amplitud que cubran $[min, max]$ ) y sumas de $f_{r i}$ .
"¿Es atípico el valor $x$ ?" / "Encuentra atípicos" → regla de Tukey con $1.5 \cdot IQR$ (alias $R I C$ ). Si pide "atípicos extremos", usa $3 \cdot IQR$ .
"¿Cuál es más asimétrica?" → compara $∣ g_{1} ∣$ (skewness muestral). El mayor en valor absoluto gana.
"Propón un modelo de distribución" → mira tipo de valores (discreto/continuo, soporte), histograma (simétrico/asimétrico) y compara $\overset{x}{ˉ}$ con $s$ .
"Recta de regresión / predice $Y$ cuando $X = x_{0}$ " → Relacionar → Análisis de una variable → Regresión simple. Lee $b_{0}$ , $b_{1}$ y $R^{2}$ de la salida.
"¿Es buena la regresión?" → mira $R^{2}$ y el p-valor del contraste de $b_{1} = 0$ (ANOVA de la regresión).

Conceptos clave

Medidas de centro y posición

Idea: media $\overset{x}{ˉ}$ (sensible a atípicos), mediana $M e$ (robusta), cuartiles $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ y percentiles $P_{p}$ .
Fórmula clave: la posición del percentil $p$ es $\frac{p}{100} (n + 1)$ ; Statgraphics interpola.
Cuándo se usa: media si la distribución es simétrica sin atípicos; mediana si hay sesgo o valores extremos.

Medidas de dispersión

Idea: cuantifican lo "esparcida" que está la muestra.
Fórmula clave: varianza muestral $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ , desviación $s = s^{2}$ , recorrido intercuartílico $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ .
Cuándo se usa: $s$ con la media; $IQR$ con la mediana o para atípicos.

Asimetría (skewness)

Idea: mide si la cola es a la derecha ( $g_{1} > 0$ ) o a la izquierda ( $g_{1} < 0$ ).
Fórmula clave: $g_{1} = \frac{1}{n} \sum (\frac{x _{i} - x ˉ}{s})^{3}$ . Statgraphics lo da directo.
Cuándo se usa: para comparar formas y decidir entre modelos simétricos (normal) y asimétricos (exponencial, gamma).

Valores atípicos (regla de Tukey)

Idea: un dato es atípico si está demasiado lejos de la caja del box-plot.
Fórmula clave: $x_{i}$ atípico si $x_{i} < Q_{1} - 1.5 \cdot IQR$ o $x_{i} > Q_{3} + 1.5 \cdot IQR$ .
Cuándo se usa: SIEMPRE que el enunciado mencione "atípico", "box-plot" o "valor anómalo".

Regresión lineal simple

Idea: ajusta $Y = β_{0} + β_{1} X + ε$ por mínimos cuadrados.
Fórmula clave: $\hat{β}_{1} = \frac{S _{x y}}{S _{xx}}$ , $\hat{β}_{0} = \overset{y}{ˉ} - \hat{β}_{1} \overset{x}{ˉ}$ .
Cuándo se usa: dos variables cuantitativas con relación aparentemente lineal en el diagrama de dispersión.

Correlación y determinación

Idea: $r$ mide fuerza y signo de la relación lineal; $R^{2}$ es el porcentaje de variabilidad de $Y$ explicado por $X$ .
Fórmula clave: $r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}$ , $R^{2} = r^{2}$ .
Cuándo se usa: $∣ r ∣ \geq 0.7$ relación fuerte; $R^{2} \geq 0.7$ buen ajuste; signo de $r$ = signo de $\hat{β}_{1}$ .

Plantilla de resolución

Identifica qué te piden: ¿descriptiva, atípicos, modelo o regresión?
Abre Statgraphics en el menú adecuado (Describir o Relacionar).
Pide la salida tabular que contenga: media, mediana, cuartiles, $s$ , $g_{1}$ , percentiles, mínimo y máximo.
Lee los números exactos que necesitas (no los calcules a mano si Statgraphics los da).
Aplica la fórmula o regla (Tukey, recta de regresión, comparar $∣ g_{1} ∣$ , etc.).
Interpreta en palabras del enunciado (segundos, cm, kg…), no en jerga estadística pura.

Mini-ejemplo paso a paso

Tienes los tiempos (en s) de $n = 20$ ciclistas. Del resumen de Statgraphics: $\overset{x}{ˉ} = 32.5$ , $M e = 31.8$ , $s = 4.2$ , $Q_{1} = 29.4$ , $Q_{3} = 35.1$ , $g_{1} = 0.65$ , $min = 24.1$ , $max = 47.3$ . Se pide $P_{80}$ , decidir si $47.3$ es atípico y comentar la asimetría.

Paso 1: Statgraphics devuelve $P_{80} = 36.7$ s. Interpretación: el $80%$ de los ciclistas hizo un tiempo $\leq 36.7$ s.

Paso 2: $IQR = Q_{3} - Q_{1} = 35.1 - 29.4 = 5.7$ . Umbral superior:

$Q_{3} + 1.5 \cdot IQR = 35.1 + 1.5 \cdot 5.7 = 43.65$

Como $47.3 > 43.65$ , sí es atípico.

Paso 3: $g_{1} = 0.65 > 0$ → asimetría positiva (cola a la derecha). Esto encaja con que $\overset{x}{ˉ} > M e$ y con el atípico por arriba.

Errores típicos

Interpretar $P_{65}$ como "el $65%$ tiene un tiempo de $33.91$ s" en vez de "menor o igual a $33.91$ s".
Confundir $IQR$ con $s$ o con el rango total $max - min$ .
Usar $1.5 \cdot IQR$ cuando piden atípicos extremos (es $3 \cdot IQR$ ).
Comparar asimetrías con $g_{1}$ con signo en vez de $∣ g_{1} ∣$ .
Olvidar las unidades en la interpretación ("cm", "s", "kg").
En regresión, dar $\hat{β}_{1}$ sin interpretar ("por cada unidad que aumenta $X$ , $Y$ aumenta $\hat{β}_{1}$ unidades").
Confundir $r$ (de $- 1$ a $1$ ) con $R^{2}$ (de $0$ a $1$ ).

Resumen en una tarjeta

Percentil $p$ : el $p %$ está por debajo. Léelo de Statgraphics, no lo calcules.
Atípico Tukey: fuera de $[Q_{1} - 1.5 IQR, Q_{3} + 1.5 IQR]$ .
Asimetría: signo de $g_{1}$ dice hacia qué lado; $∣ g_{1} ∣$ dice cuánto.
Regresión: $\overset{y}{^} = b_{0} + b_{1} x$ ; calidad con $R^{2}$ y p-valor del ANOVA.
Siempre interpreta en las unidades del enunciado.

Estadística descriptiva y regresión lineal