En una región de alta actividad sísmica, la variable aleatoria X que mide el periodo de retorno de los terremotos de una cierta magnitud (años entre dos terremotos consecutivos) tiene la siguiente función de densidad:
f(x) = 0 si x < 0,
f(x) = β²·x·e^(−β·x) si x ≥ 0,
donde β es un parámetro desconocido.
Se han estudiado los periodos de retorno en una muestra aleatoria de 144 puntos geográficos, obteniendo un periodo medio de retorno de 3.5 años y una cuasivarianza de 6.75 años².
(a) (2 puntos) Estimar el parámetro β por el método de los momentos.
(b) (4 puntos) Obtener un intervalo de confianza al 95% para el periodo medio de retorno μ, deduciendo previamente la expresión general con el pivote adecuado. ¿Se puede aceptar, con ese nivel de confianza, que el periodo medio de retorno es de 4 años?
(c) (1 punto) Obtener un intervalo de confianza al 95% para β.
(d) (3 puntos) Según los registros históricos, el periodo medio era de 4.3 años, pero se piensa que la actividad sísmica ha aumentado. Con α = 5%, ¿hay evidencia muestral de que los periodos de retorno son más cortos? Plantea el contraste y justifica con el p-valor.
Mismos conceptos, distinto enunciado. Útil para ver el patrón.