Probabilidad y Estadística Problemas y Resultados Curso 25-26 - 5 - Tema 3 Variables aleatorias discretas 1. Un jugador apuesta 5 euros a un juego. Se lanza una moneda y, si sale cara, el jugador recibe un premio de 8 €. Si sale cruz, se vuelve a lanzar la moneda y, si en esta ocasión sale cara, el jugador recibe un premio de 6 €. En otro caso, el jugador pierde los 5 € que cuesta participar en el juego. (a) Definir una variable aleatoria, X, que describa la ganancia del jugador. Hallar la distribución de probabilidad de 푋. (b) Obtener la función de distribución de 푋. (c) Calcular 푝 ሺ 0푋3 ሻ y 푝 ሺ 0푋൏3 ሻ . (d) Hallar la media, la varianza y el coeficiente de variación de 푋. (e) ¿Por qué este juego no es equitativo? Modificar algún premio para que sea equitativo. (a) (5)0.25,( 1)0.25,( 3)0.5PXPXPX . (b) 05 0.2551 () 0.513 13 x x Fx x x . (c) 0.75, 0.25. (d) 2 [ ]( ) 0.5,( )( ) 10.75,( ) 665.74%EXXV XXCV X (e) No lo es, pues la esperanza es distinta de 0, y hay muchas posibles formas de modificarlo. Una de ellas es que si sale cara en la primera tirada el premio sea de 7 euros y el resto igual. 2. Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 verdes. Un jugador extrae dos bolas a la vez. Si ambas son blancas, el jugador pierde 3 €. Si una es blanca y la otra verde, el jugador gana 1 €. En otro caso, queda en paz. (a) Definir una variable aleatoria 푋 que describa la ganancia del jugador. Hallar su distribución de probabilidad. (b) Obtener la función de distribución de 푋. (c) Calcular 푝 ሺ െ3 푋 0 ሻ y 푝 ሺ െ4 ൏ 푋 ൏ 0 ሻ . (d) Hallar la media, la varianza y el coeficiente de variación de 푋. (e) Determinar si este juego es equitativo. En caso negativo, modificarlo para que sea equitativo. (a) (3)0.3,( 0)0.1,( 1)0.6PXPXPX . (b) 03 0.330 () 0.401 11 x x Fx x x (c) 0.4, 0.3. (d) 2 [] () 0.3, ()() 3.21, () 597.2%EXXV XXCV X (e) No lo es, pues la esperanza es distinta de 0, y hay muchas posibles formas de modificarlo. Una de ellas es que si ambas son blancas se pierdan 2€ y el resto igual. Probabilidad y Estadística Problemas y ResultadosCurso 25-26 - 6 - 3.Se considera la función siguiente: 4 si1 42 si8/7 21 si8/3 11 si4/1 1 si0 )( x x x x x xF (a)Verificar gráficamente que 퐹 es la función de distribución de una variable aleatoria discreta, 푋. (b)Obtener distribución de probabilidad de 푋. (c)Calcular 푝 ሺ 푋ൌ3 ሻ , 푝 ሺ 1푋2 ሻ y 푝 ሺ 푋ൌ2 | 푋2 ሻ . (d)¿Qué variable es más dispersa, ésta o la del problema 1? (a) La función es creciente, empieza en 0 y termina en 1, es continua por la derecha y es escalonada. (b) 1111 ( 1),(1),( 2),( 4). 48 2 8 PXPXPXPX (c)0, ହ ଼ , ସ . (d) La del problema 1, pues tiene un coeficiente de variación mayor. 4.Se considera la función siguiente: 1 si1 11 si7.0 13 si2.0 3 si0 )( x x x x xF (a)Verif icar gráficamente que 퐹 es la función de distribución de una variable aleatoria discreta, 푋. (b)Obtener la distribución de probabilidad de 푋. (c)Calcular 푝 ሺ 푋ൌ0.7 ሻ , 푝 ሺ െ3 푋 െ1 ሻ y 푝 ሺ 푋ൌെ1 | 푋൏0 ሻ . (d)¿Qué variable es más dispersa, ésta o la del problema 2? (a) La función es creciente, empieza en 0 y termina en 1, es continua por la derecha y es escalonada. (b) (3)0.2, (1)0.5, (1)0.3PXPXPX . (c) 0, 0.7, 5/7. (d) La del problema 2, pues tiene un coeficiente de variación mayor. 5.Se generan 2 bits de modo aleatorio e independiente y se consideran las variables aleatorias: 푋: “primer bit generado” e 푌: “suma binaria de ambos bits (función XOR)”. (a)Obtener la distribución de probabilidad de cada variable aleatoria. Calcular su media y su varianza. (b)Intuitivamente, ¿son 푋 e 푌 independientes? Comprobarlo calculando las 4 probabilidades 푝 ሺ 푋ൌ0∣푌ൌ0 ሻ , 푝 ሺ 푋ൌ0∣푌ൌ1 ሻ , 푝 ሺ 푋ൌ1∣푌ൌ0 ሻ y 푝 ሺ 푋ൌ 1∣푌ൌ1 ሻ . Probabilidad y Estadística Problemas y Resultados Curso 25-26 - 7 - (c) Usando las propiedades de linealidad, hallar, si es posible, la media y la varianza de la variable aleatoria 푍ൌ2푋െ2푌െ1. (a) (0)(1)0.5;(0)0.5,(1)0.5P XP XPYPY , (b) Sí son independientes, (c) 2 [] () 1, ()() 2.EZZV ZZ 6. Se generan 2 bits de modo aleatorio e independiente y se consideran las variables aleatorias: 푋: “primer bit generado” e 푌: “máximo de ambos bits (función OR)”. (a) Obtener la distribución de probabilidad de cada variable aleatoria. Calcular su media y su varianza. (b) Intuitivamente, ¿son 푋 e 푌 independientes? Comprobarlo calculando las 4 probabilidades 푝 ሺ 푋ൌ0∣푌ൌ0 ሻ , 푝 ሺ 푋ൌ0∣푌ൌ1 ሻ , 푝 ሺ 푋ൌ1∣푌ൌ0 ሻ y 푝 ሺ 푋ൌ 1∣푌ൌ1 ሻ . (c) Usando las propiedades de linealidad, hallar, si es posible, la media y la varianza de la variable aleatoria 푍ൌ3푋െ2푌1. (a) (0)(1)0.5;( )0.5; ( )0.25. (0)0.25, (1)0.75;( )0.75; ( )0.1875. PXPXEXV X PYPYEYV Y , (b) No son independientes, (c) [] () 1EZZ , pero en este caso no es posible hallar la varianza con las propiedades de linealidad. 7. Un llavero contiene 4 llaves, de las cuales solo una abre cierta cerradura. Para abrir la cerradura, se prueban las llaves, una a una, y se descartan las que no abren. (a) Obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria 푋 que cuenta el número de llaves probadas antes de abrir la cerradura. (b) ¿Cuántas llaves se espera probar antes de abrir la cerradura? Calcular la varianza y el coeficiente de variación de 푋. (a) 1 ( 0)( 1)( 2)( 3). 4 PXPXPXPX (b) 2 [] ()1.5, ()()1.25, () 74.5356%EXXV XXCV X 8. Una urna contiene 1 bola blanca y 4 negras. Un jugador extrae bolas al azar, de una en una y sin reemplazamiento, hasta que sale la blanca. (a) Obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria 푋 que cuenta el número de bolas extraídas antes de la blanca. (b) ¿Cuántas bolas se espera extraer antes de la blanca? Calcular la varianza y el coeficiente de variación de 푋. (a) ( 0)( 1) ( 2)( 3) ( 4)0.2PXPXPXPXPX . (b) 2 [] () 2, ()() 2, () 70.71%EXXV XXCV X 9. En una maternidad, la experiencia muestra que el 40% de los recién nacidos son niñas. Si en una semana hay 10 partos, se pide: (a) Calcular la probabilidad de que nazcan menos de 8 niñas. Probabilidad y Estadística Problemas y Resultados Curso 25-26 - 8 - (b) Hallar la probabilidad de que nazcan 8 niñas. (c) Determinar la probabilidad de que nazcan al menos 3 niñas, pero menos de 8. (d) Calcular la probabilidad de que nazcan más de 2 niños. (e) Calcular el número esperado de niñas. (f) Sabiendo que los 3 primeros nacidos han sido niñas, obtener la probabilidad de que nazcan menos de 8 niñas. (a) 0.9877, (b) 0.0106, (c) 0.8204, (d) 0.9877 (e) 4, (f) 0.9037 10. En un huerto, el 10% de las calabazas no tiene pipas. Se recolectan 9 calabazas al azar. (a) Calcular la probabilidad de obtener menos de 2 calabazas sin pipas. (b) Hallar la probabilidad de obtener 2 calabazas sin pipas. (c) Calcular la probabilidad de obtener más de 1 calabaza sin pipas y a lo sumo 4. (d) Calcular la probabilidad de obtener más de 8 calabazas con pipas. (e) Calcular el número esperado de calabazas sin pipas. (f) Sabiendo que las 2 primeras calabazas no tienen pipas, obtener la probabilidad de recolectar menos de 5 sin pipas. (a) 0.7748, (b) 0.1722, (c) 0.2243, (d) 0.3874, (e) 0.9, (f) 0.9743 11. En una red de carreteras, el número medio de accidentes es 2 cada día entre semana y 4 cada día de fin de semana. Se supone que los accidentes son independientes y que su promedio permanece constante en el tiempo. Se observan días al azar. (a) Calcular la probabilidad de que un martes se produzcan menos de 5 accidentes y la probabilidad de que se produzca 1 accidente. (b) Obtener la probabilidad de que entre un viernes, un sábado y un domingo se produzcan más de 7 accidentes y menos de 14 en total. (c) Un fin de semana se considera “negro” si entre el sábado y el domingo se producen al menos 6 accidentes. Determinar: i) La probabilidad de que en un fin de semana “negro” haya habido solamente 6 accidentes ii) La probabilidad de que un fin de semana haya sido “negro” si entre el viernes, sábado y domingo de esa semana ha habido 7 accidentes en total. (d) Hallar el número esperado de accidentes en 1 año (52 semanas). (a) 0.9473 y 0.2707, (b) 0.6443 (c) i) 0.1511, ii) 0.5767 , (d) 936. 12. Un libro de texto contiene teoría y problemas resueltos. El número medio de erratas es 1 en cada página de teoría y 2 en cada página de problemas. Se supone que las erratas son independientes y que su promedio es constante para cada tipo de página. Se eligen páginas al azar. (a) Sabiendo que una página de teoría contiene menos de 3 erratas, hallar la probabilidad de que contenga exactamente 2 erratas. (b) Un capítulo tiene 5 páginas de teoría y 2 páginas de problemas. Hallar la probabilidad de que ese capítulo tenga más de 10 erratas. Hallar la probabilidad de que contenga entre 4 y 9 erratas, ambos valores inclusive. Probabilidad y Estadística Problemas y Resultados Curso 25-26 - 9 - (c) Sabiendo que dicho capítulo tiene exactamente 10 erratas, hallar la probabilidad de que no haya habido más de una errata en las páginas de teoría. (d) Si el libro consta de 100 páginas de teoría y 25 de problemas, determinar el número esperado de erratas que contiene. (a) 0.1999, (b) 0.2940, 0.5662 (c) 0.004078, (d) 150. 13. En un canal binario simétrico, se transmiten mensajes de 8 bits. Cada bit se transmite de modo independiente de los demás y la probabilidad de que el ruido lo altere vale 0.05. Se van transmitiendo mensajes independientes. (a) Calcular la probabilidad de que un mensaje contenga algún bit alterado. (b) Si se transmiten 10 mensajes, calcular: i) la probabilidad de que más de 3 mensajes tengan algún bit alterado. ii) sabiendo que hay más de 3 mensajes con algún bit alterado, obtener la probabilidad de que haya exactamente 5 mensajes con algún bit alterado. (c) En promedio, se transmite 1 mensaje cada 5 minutos y este promedio se mantiene constante por unidad de tiempo. Obtener la probabilidad de transmitir más de 3 mensajes y menos de 10 en media hora. (d) Si un mensaje contiene algún bit alterado, debe retransmitirse, lo que cuesta 10 céntimos. En caso contrario, el coste de transmisión es 5 céntimos. Determinar el coste esperado en la transmisión de un mensaje. (a) 0.3366, (b) i) 0.4407, ii) 0.3097 (c) 0.7649, (d) 6.683 céntimos 14. En cierto club de lectura, cada socio compra una media de 1 libro cada 2 meses. Las compras son independientes y su promedio por unidad de tiempo permanece constante. (a) Calcular la probabilidad de que un socio compre más de 7 libros en 1 año, la probabilidad de que no compre ninguno y la probabilidad de que compre entre 3 y 6 libros, ambos valores inclusive. (b) Se van eligiendo socios al azar. Hallar la probabilidad de que el tercer socio elegido sea el primero que compra más de 7 libros en 1 año. (c) Se eligen 6 socios al azar: i) Obtener la probabilidad de que más de la mitad de ellos compren más de 7 libros cada uno en 1 año. ii) Si más de mitad ha comprado más de 7 libros en 1 año, obtener la probabilidad de que sean al menos 5 socios los que compran más de 7 libros cada uno en un año. (d) Si un socio compra más de 7 libros en 1 año, el club le descuenta 20 euros en las compras del año siguiente. Determinar el descuento medio conseguido por un socio para el año siguiente. (a) 0.256, 0.0025, 0.5443 b) 0.1417, (c) i) 0.0376, ii) 0.1223 ( d) 5.12 15. Una fábrica emite contaminación 2 veces al mes en promedio. Las emisiones contaminantes son independientes y su promedio por unidad de tiempo permanece constante. (a) La fábrica se revisa cuando en 1 trimestre hay más de 8 emisiones contaminantes. Calcular la probabilidad de que esto suceda. Probabilidad y Estadística Problemas y Resultados Curso 25-26 - 10 - (b) Hallar la probabilidad de que la fábrica funcione 5 trimestres antes de ser revisada. (c) La fábrica se para si en 1 año hay más de 1 trimestre con más de 8 emisiones. i) Determinar la probabilidad de que esto suceda. ii) Sabiendo que la fábrica ha parado en un determinado año, hallar la probabilidad de que ese año haya habido revisiones en todos los trimestres. (a) 0.1528. (b) 0.0667 (c) i) 0.1095 ii) 0.005 (redondeo a tres decimales) 16. Un examen, que consta de 10 preguntas independientes, se aprueba si se contestan correctamente 5 o más. Cada pregunta tiene 3 apartados independientes entre sí y la respuesta se considera correcta si se contestan bien 2 o más apartados. La probabilidad de que un alumno conteste bien cada apartado es 0.6. (a) Calcular la probabilidad de que dicho alumno conteste bien una pregunta. (b) Hallar la probabilidad de que el alumno apruebe el examen. (c) Determinar la nota esperada en el examen, siendo la nota el número de preguntas contestadas correctamente. (d) Sabiendo que el alumno ha aprobado el examen, obtener la probabilidad de que haya contestado correctamente 7 preguntas. (a) 0.648. (b) 0.9051 (c) 6.48 (d) 0.2786