Probabilidad y Estadística Problemas y Resultados Curso 25-26
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Tema 2 Probabilidad
1. Se lanza una moneda 3 veces.
(a) Determinar el espacio muestral asociado a este fenómeno aleatorio.
(b) Escribir los sucesos A: “obtener una cara”, B: “sacar al menos dos cruces”, así como
AB
,
AB
y
AB
.
(c) Calcular las probabilidades de los sucesos anteriores.
(a) E = {ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx}. En este conjunto, todos los elementos son
igual de posibles.
(b) A={cxx, xcx, xxc}, B={cxx, xcx, xxc, xxx}, 퐴∪퐵ൌ퐵, 퐴∩퐵ൌ퐴,
퐴
ഥ
∩퐵
ത
={ccc, ccx, cxc, xcc}. (c) 3/8, 1/2, 1/2, 3/8, 1/2.
2. Se lanzan una moneda y un dado de quinielas (con tres 1, dos × y un 2).
(a) Determinar el espacio muestral asociado a este fenómeno aleatorio.
(b) Escribir los sucesos A: “obtener cara”, B: “obtener un número”,
AB
, AB y
.
(c) Calcular las probabilidades de los sucesos anteriores.
(a) E = {c1, cx, c2, +1, +x, +2}. Es este conjunto no todos los elementos son igual de
posibles.
(b) {c1, cx, c2}, {c1, c2, +1, +2}, {c1, cx, c2, +1, +2}, {c1, c2}, {cx, +1, +x, +2}. En estos
conjuntos no todos los elementos son igual de posibles.
(c) 1/2, 2/3, 5/6, 1/3, 2/3.
3. En una Escuela de Informática el 80% de los alumnos tiene ordenador de sobremesa, el
50% tiene ordenador portátil y el 10% no tiene ordenador. Se pide:
(a) Calcular la probabilidad de que un alumno tenga ambos tipos de ordenador.
(b) Sabiendo que un alumno tiene ordenador de sobremesa, obtener la probabilidad de
que tenga portátil.
(c) Sabiendo que un alumno tiene portátil, obtener la probabilidad de que no tenga
ordenador de sobremesa.
(d) Determinar si ambos sucesos son independientes.
(a) 0.4 b) 0.5 c) 0.2 d) Sí
4. Se sabe que el 30% de las personas de una población practica algún deporte, el 25%
dedica varias horas semanales a la lectura y el 10% tiene las dos aficiones.
(a) Hallar la probabilidad de que una persona solo practique deporte.
(b) Calcular el porcentaje de personas que ni leen ni realizan actividades deportivas.
(c) Sabiendo que una persona no practica deporte calcular la probabilidad de que
dedique varias horas semanales a la lectura.
(d) Determinar si “practicar algún deporte” y “dedicar varias horas semanales a la
lectura” son sucesos independientes.
(a) 0.2, (b) 0.55, (c) 0.2143, (d) No son independientes.
5. Un mazo de cartas contiene 3 cartas de oros y 7 de otros palos. Se extraen 4 cartas al
azar sin reemplazamiento. Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos:
(a) Obtener al menos una carta de oros.
(b) Obtener al menos dos cartas de oros.
(a) 5/6, (b) 1/3.
BA
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6. De una urna que contiene 10 bolas, 6 son rojas y 4 negras. Se extraen 3 bolas al azar sin
reemplazamiento. Determinar la probabilidad de que aparezcan:
(a) Las tres del mismo color.
(b) Dos bolas negras y una roja.
(a) 0.20, (b) 0.3.
7. Sean A y B sucesos tales que
0.5,0.7 y/0.6PAPA BPAB
. Probar o
refutar las siguientes afirmaciones:
(a) P(B) = 1/2. V
(b) A y B son incompatibles. F
(c) A y B son independientes. F
(d)
AB
. F
8. Dados los sucesos A y B, con
2/1)/( ,4/1)(ABPAP
y
2/1)/(BAP
, probar o
refutar las siguientes afirmaciones:
(a) A y B son incompatibles.
(b) A y B son independientes.
(c)
2/1)/(BAP
.
(d)
BA
.
a) Falso b) Falso c) Verdadero d) Falso.
9. Tres tiradores hacen una descarga simultánea. Sus probabilidades de hacer blanco son
0.6, 0.5 y 0.4, respectivamente. Calcular:
(a) Probabilidad de que algún tirador haga blanco.
(b) Probabilidad de que exactamente dos tiradores hagan blanco.
(c) Sabiendo que 2 tiradores han hecho blanco, calcular la probabilidad de que el tercer
tirador haya sido uno de ellos.
(a) 0.88, (b) 0.38, (c) 0.5263
10. Mediante un programa de ordenador se generan independientemente tres números de
dos dígitos cada uno. Los dígitos pueden ser cualquiera de 0 a 9. Calcular:
(a) Probabilidad de que el primer número generado sea menor que 40.
(b) Probabilidad de que 2 de los números generados sean menores que 40.
(c) Sabiendo que alguno de ellos ha sido menor que 40, la probabilidad de que hayan
sido exactamente dos los números generados menores que 40.
a) 2/5, b) 36/125, c) 18/49
11. En un videojuego para Smartphones se abren distintos tipos de cofres, que te dan
premios coleccionables para progresar dentro del juego. Un cofre de plata tiene 1/5 de
posibilidades de darte una gema. Por cada gema obtenida podemos abrir otro tipo de
cofre, un cofre de oro, en el que se pueden obtener entre 1 y 4 cartas coleccionables,
con igual probabilidad. Si en una partida se han conseguido abrir dos cofres de plata,
calcular la probabilidad de:
a) Obtener exactamente una gema.
b) Obtener al final del juego 4 cartas.
c) Haber obtenido exactamente una gema, sabiendo que se han obtenido un total de 4
cartas.
a) 8/25=0.32 b) 35/400=0.0875 c) 32/35=0.9143
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12. Consideremos una fuente de información binaria {0,1} emitiendo a través de un canal de
comunicación sometido a perturbaciones aleatorias. De este modo, debido al ruido, a veces
se recibe un 1 cuando se ha emitido un 0 y viceversa. La probabilidad de que se reciba un
0 cuando se ha transmitido un 0 es 0.90 mientras que la probabilidad de que se reciba un 0
cuando se ha transmitido un 1 es de 0.15. Supongamos que la probabilidad de transmitir un
0 es 0.40. Determinar:
(a) La probabilidad de que se reciba un 1.
(b) La probabilidad de que se emita un 1 y se reciba un 0.
(c) La probabilidad de que, habiéndose recibido un 1, se haya transmitido un 1.
a) 0.55, b) 0.09, c) ~0.927273.
13. En la red de la figura se envía un mensaje del nodo origen al nodo destino.
En el origen hay un distribuidor de señal, que envía el mensaje por una de las rutas C
1
o C
2
con probabilidades 3/4 y 1/4, respectivamente. Además, los dispositivos A, B y C
funcionan independientemente entre sí y con probabilidades 0.9, 0.8 y 0.7,
respectivamente.
(a) Si el mensaje va por C
1
, calcular la probabilidad de que llegue al destino.
(b) Hallar la probabilidad de que el mensaje llegue al destino.
(c) Sabiendo que el mensaje ha llegado a destino, determinar la probabilidad de que se
haya enviado por C
2
.
(d) Se construye otra red diferente utilizando solamente dispositivos de tipo A
montados en serie. Calcular el número mínimo de dispositivos necesario para que
la probabilidad de que un mensaje no llegue a su destino sea mayor que 0.80.
(a) ~ 0.686, b) ~ 0.916, ~ 0.7436, c) ~ 0.3080, d) 16
14. En la red de la figura, se envía un mensaje del nodo de origen al nodo de destino:
Los dispositivos A, B y C funcionan de modo independiente entre sí y con probabilidades
0.9, 0.8 y 0.7, respectivamente. Además, en el nodo de origen hay un distribuidor de señal,
que envía el mensaje por la ruta C
1
, con probabilidad 1/3 o por la ruta C
2
, con probabilidad
2/3.
OrigenDestino
A
B
C
AB
C
C1
C2
OrigenDestino
A
B
C
A
B
C
C1
C2
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(a) Si el mensaje va por C
1
, calcular la probabilidad de que llegue al destino.
(b) Hallar la probabilidad de que el mensaje llegue al destino.
(c) Sabiendo que el mensaje no ha llegado al destino, determinar la probabilidad de
que se haya enviado por C
2
.
(d) Se construye otra red diferente utilizando solamente dispositivos de tipo A montados
en paralelo. ¿Cuántos se deben conectar, como mínimo, para que un mensaje llegue a
su destino con probabilidad mayor que 0.999?
a) 0.994, b) ~0.89533, c) ~0.980889, d) 4.