TEMA 3
VARIABLE ALEATORIA
UNIDIMENSIONAL
Prof. Juan José Martín Sotoca
Dep. de Matemática aplicada a las TIC
E.T.S.I.S.I. (Universidad Politécnica de Madrid)
Probabilidad y Estadística
(ETSISI –UPM)
Curso 25-26
CONCEPTOS BÁSICOS
•Es una función:
X : Ω⟶ℝ
que asocia a cada suceso elemental 휖
푖
un nº real 푋(휖
푖
).
EJEMPLO
X = {suma de las dos tiradas de un dado}
•Seasocia a cada suceso elemental (en este caso los valores obtenidos en cada tirada) la
suma de los valores obtenidos.
VARIABLE ALEATORIA
DEFINICIÓN
VARIABLE ALEATORIA
CONCEPTOS BÁSICOS
•Tenemos, por ejemplo:
{(a,b) / X(a,b) = 4} = {(1,3), (2,2), (3,1)}
{(a,b) / X(a,b) = 2} = {(1,1)}
{(a,b) / X(a,b) = 7} = {(1,6), (2,5), (3,4),(4,3), (5,2), (6,1)}
EJEMPLO
X(A)
(1,1)2
(1,2)(2,1)3
(1,3)(2,2)(3,1)4
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)5
(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)6
(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)7
(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)8
(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)9
(4,6)(5,5)(6,4)10
(5,6)(6,5)11
(6,6)12
SUCESOS COMPUESTOS
VARIABLE ALEATORIA
CONCEPTOS BÁSICOS
Unavariablealeatoriaesunafunción:
X : Ω⟶ℝ
1.queasociaacadasucesoelementaldelespaciomuestralunnºreal,
2.deformaquelaprobabilidaddelanuevavariableX=X(S)esigualalaprobabilidad
dequeocurraelsucesocompuestoS.
DEFINICIÓN
HEREDA LA
PROBABILIDAD DEL
ESPACIO DE SUCESOS
VARIABLE ALEATORIA
CONCEPTOS BÁSICOS
•SisobreloselementosdeΩexisteunadistribucióndeprobabilidad,éstasetransmitea
losvaloresquetomalavariableX(probabilidadinducida).Esdecir,todav.a.conservala
estructuraprobabilísticadelexperimentoaleatorioquedescribe:
•LossucesosquenosvanainteresarahorasondeltipoX∈I,dondeIesunsubconjunto
deℝ:
OBSERVACIONES
P(X=x)=
푖
P({휖
푖
∈Ω:X(휖
푖
)=x})
P(X∈I)=
푖
P({휖
푖
∈Ω:X(휖
푖
)∈I})
CONCEPTOS BÁSICOS
•Consideramos el experimento de lanzar dos veces un dado y la variable aleatoria:
X : Ω⟶ℝ, dada por:X = suma de las dos tiradas
EJEMPLO
•P(X=2)=P((1,1))=1/36
•P(X=3)=P((1,2) ∪(2,1))=2/36
•P(X=4)=3/36
•P(X=5)=4/36
•P(X=6)=5/36
•P(X=7)=6/36
•P(X=8)=5/36
•.......
VARIABLE ALEATORIA
VARIABLE ALEATORIA
OBSERVACIONES
CONCEPTOS BÁSICOS
•Una variable aleatoria está definida por:
1.los valores que puede tomar.
2.la probabilidad de cada uno de esos valores.
•Elrangodeunavariablealeatoriaeselconjuntodevaloresquepuedetomarlavariable.
•Atendiendoalrangolasvariablessepuedenclasificarcomo:
1.Variablesaleatoriasdiscretas:aquellasenlasqueelrangoesfinitooinfinito
numerable.
2.Variablesaleatoriascontinuas:aquellasenlasqueelrangoesunintervalode
númerosreales.
VARIABLE ALEATORIA
•Normalmente cuentan el número de veces que ocurre algo.
•Ejemplos:
oNúmero de caras en tres tiradas de una moneda.
oNúmero de llamadas que recibe un teléfono en una hora.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
•Normalmente miden una magnitud.
•Ejemplos:
oTiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado.
oCantidad de agua consumida en un mes.
CONCEPTOS BÁSICOS
VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
Prof. Juan José Martín Sotoca
Dep. de Matemática aplicada a las TIC
E.T.S.I.S.I. (Universidad Politécnica de Madrid)
Probabilidad y Estadística
(ETSISI –UPM)
Curso 25-26
•Sea X una variable aleatoria discreta, con rango x
1
, x
2
, x
3
,..., x
n.
Se define su función de
probabilidad ode masade probabilidad como:
p
i
= P(X = x
i
)
DEFINICIÓN
•Se denomina distribución de probabilidad al conjunto del rango de valores y la función de
probabilidad: {x
i ,
p
i
}.
•Las propiedades de la función de probabilidad se deducen de forma inmediata de los
axiomas de la probabilidad:
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
1.0≤px
i
≤1
2.
σ
i=1
n
px
i
=1
(si la variable toma infinitos valores, se tiene
σ
i=1
∞
px
i
=1)
1.Pa≤X≤b=PX=a+PX=a+1+⋯+PX=b=
σ
x
i
=a
b
px
i
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
•Lanzamos 3 veces moneda. Espacio muestral:
Ω = {CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}
•Consideramos la variable aleatoria
X = {nº de caras al lanzar tres veces una moneda}
•Posibles valores de X : 0, 1, 2 y 3.
•La función de masaes:
EJEMPLO 1
푝0=푃푋=0=
1
8
=0.125
푝1=푃푋=1=
3
8
=0.375
푝2=푃푋=2=
3
8
=0.375
푝3=푃푋=3=
1
8
=0.125
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
•¿Cuál será la probabilidad de que salgan como mucho dos caras?.
•¿Y la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2?.
EJEMPLO 1
•Gráfica de la función de masa de X:
푃푋≤2=푃푋=0+푃푋=1+푃푋=2=0.125+0.375+0.375=0.875
푃1≤푋≤2=푃푋=1+푃푋=2=0.375+0.375=0.75
0.1250.125
0.375
0.375
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
•Uncomercialhaconcertadodoscitasparavenderrouters.Creequeenlaprimeracita
puederealizarunaventaconunaprobabilidad0.3;queenlasegundalopuedehacer
conunaprobabilidadde0.6,yquelosresultadosdelasdoscitassonindependientes.
•¿CuáleslafuncióndeprobabilidaddeX,elnúmerodeventasrealizadas?
EJEMPLO 2
La variable X puede tomar cualquiera de los valores 0, 1 ó 2. Será igual a 0 si no vende en
ninguna de las citas. Por tanto:
P(X = 0) = P({no vende en la primera y no vende en la segunda}) =
= P({no vende en la primera})×P({no vende en la segunda}) =
= (1-0.3) x (1-0.6) = 0.28
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
EJEMPLO 2
La variable X será igual a 1 si consigue vender en la primera, pero no en la segunda, o si no
vende en la primera, pero si en la segunda. Se tiene entonces:
P(X = 1) = P({vende en la primera y no vende en la segunda}) +
P({no vende en la primera y vende en la segunda}) =
= P({vende en la primera})×P({no vende en la segunda}) +
P({no vende en la primera})×P({vende en la segunda}) =
= 0.3 x (1-0.6) + (1-0.3) x 0.6 = 0.54
La variable X será igual a 2 si consigue vender en la primera y en la segunda. Se tiene
entonces:
P(X = 2) = P({vende en la primera y vende en la segunda}) =
= P({vende en la primera})×P({vende en la segunda})
= 0.3 x 0.6 = 0.18
DEFINICIÓN
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
•Enocasionesnospuedeinteresarlaprobabilidaddequeunavariabletomeunvalor
menoroigualqueunacantidad.Definimosentonceslafuncióndedistribución:
•La función de distribución, definida sobre todo ℝ, cumple:
퐹푥
표
=푃푋≤푥
표
1.lim
푥→−∞
퐹푥=0,lim
푥→∞
퐹푥=1
2.0≤F(x)≤1
3.Es monótona no decreciente.
4.P(X>x)=1−F(x)
5.F(x) es continua por la derecha.
퐹 : ℝ⟶[0 , 1]
CONCLUSIÓN
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
•Unavariablealeatoriadiscretasepuededefinirmediantesudistribuciónde
probabilidad{x
i,
p
i
}omediantesufuncióndedistribuciónF(x).Entonces,
oSiconocemos{x
i,
p
i
}podemosobtenerF(x).
oSiconocemosF(x)podemosobtener{x
i,
p
i
}.
•x
i
:PuntosdediscontinuidaddeF(x).
•p
i
:Alturadeladiscontinuidadenx
i
.
푝
푖
=퐹푥
푖
−퐹(푥
푖
−
)
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
EJEMPLO 1
0.125
0.5
0.875
1
퐹0=푃푋≤0=푃푋=0=0.125
퐹1=푃푋≤1=푃푋=0+푃푋=1=0.125+0.375=0.5
퐹2=푃푋≤2=푃푋=0+푃푋=1+푃푋=2=0.5+0.375=0.875
퐹3=푃푋≤3=푃푋=0+푃푋=1+푃푋=2+푃푋=3=0.875+0.125=1
•Continuando con el ejemplo anterior: nºcaras al lanzar tres veces una moneda.
Calculemos la función de distribución:
x=0x=1
x=2
x=3
Función
escalonada
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
EJEMPLO 3
•Enocasiones,algunaslíneasaéreasvendenmáspasajesquelosdisponiblesenun
vuelo.Unacompañíahavendido205billetesquecorrespondenaunavióncon200
plazas.
•SeaXlavariablealeatoriaqueexpresaelnúmerodeviajerosquesepresentanenel
aeropuertoparaviajarenelavión,ysufuncióndeprobabilidades:
x198199200201202203204205
P(X = x)0.050.090.150.200.230.170.090.02
1.Hallarlaprobabilidaddequetodoslospasajerosquelleganatomarelvuelotengan
plaza.
2.¿Cuáleslaprobabilidaddequesequedesinplazaalgunodelospasajerosquese
presentanenelaeropuerto?.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
EJEMPLO 3
1.Hallar la probabilidad de que todos los pasajeros que llegan a tomar el vuelo tengan
plaza.
Queremos calcular P(X ≤ 200).
P(X ≤ 200) = P(X = 198) + P(X = 199) + P(X = 200) =
= 0.05 + 0.09 + 0.15 =
= 0.29
2. ¿Cuál es la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los pasajeros que se
presentan en el aeropuerto?
P(X >200) = 1 − P(X ≤ 200) = 0.71
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
MEDIA O ESPERANZA MATEMÁTICA
•Se define la esperanza de una v.a.como:
휇=퐸푋=
푖
푥
푖
푝푥
푖
퐸[푎푋+푏푌]=푎퐸[푋]+푏퐸[푌]
PROPIEDADES
lj푥=
σ
푥
푖
⋅퐹
푖
푛
=푥
푖
⋅
퐹
푖
푛
=푥
푖
⋅푓
푖
OBSERVACIÓN
•Media aritmética de un conjunto de datos:
퐸[푔푋]=
푖=1
푘
푔푥
푖
푝푥
푖
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
•Enunpuestodeferiaseofrecelaposibilidaddelanzaraciegasundardoaunosglobos.
Siseconsiguereventarunglobo,serecibeunpremioigualaunacantidadocultatrasel
globo.
•Supongamosquelaprobabilidaddeacertarconalgúngloboes1/3.Lospremiosse
distribuyendelasiguientemanera:
–40%depremiosde0.30€
–30%depremiosde0.6€
–20%depremiosde1.5€
–10%depremiosde6.0€
•Sicadalanzamientocuesta0.9€,¿Cualesla"ganancia“esperadadeldueñodelpuesto
encadalanzamiento?.
EJEMPLO 1
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
EJEMPLO 1
•Caracterizamos la Ganancia del dueño:
퐺=
−ퟓ.ퟏ
−ퟎ.ퟔ
ퟎ.ퟑ
ퟎ.ퟔ
ퟎ.ퟗ
premiode6€
premiode1.5€
premiode0.6€
premiode0.3€
nopremio
•Calculamos la función de masa:
•P(G = -5.1) = (1/3)(0.1)
•P(G = -0.6) = (1/3)(0.2)
•P(G = 0.3) = (1/3)(0.3)
•P(G = 0.6) = (1/3)(0.4)
•P(G = 0.9) = 2/3
퐄퐆=
σ
푖
푔
푖
푝푔
푖
=(-5.1)(1/30)+(-0.6)(1/15)+(0.3)(1/10)+(0.6)(2/15)+(0.9)(2/3)= 0.5€
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
EJEMPLO 2
•Unaempresaderefrescoslanzaunaofertaparaanunciarunnuevoproducto.Asegura
queporcada1000taponeshay500con“inténtelootravez”,300conpremiode0.30
euros,150conpremiode0.60euros,40conpremiode3eurosy10conpremiode6
euros.
•Unindividuo,alquenolegustaelrefresco,decidecomprarunabotellacuyocostees
de0.6euros.
•Caracterizarsugananciamedianteunavariablealeatoria.¿Esrazonablesudecisión?.
Calcularlaprobabilidaddeperderdinero.
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
EJEMPLO 2
•Caracterizamos la Ganancia de la persona
que compra la botella:
퐺=
−ퟎ.ퟔ
−ퟎ.ퟑ
ퟎ
ퟐ.ퟒ
ퟓ.ퟒ
sinotienepremio
premiode0.3€
premiode0.6€
premiode3€
premiode6€
•Calculamos la función de masa:
•P(G=-0.6)=500/1000=0.5
•P(G=-0.3)= 300/1000=0.3
•P(G=0)= 150/1000=0.15
•P(G=2.4)= 40/1000=0.04
•P(G=5.4)=10/1000=0.01
•¿Esrazonablesudecisión?.Ladecisióndecomprarlabotella,soloporelpremio(recordemosque
nolegustasucontenido)serárazonablesielvaloresperadodelagananciaespositivo.
E[G]= (-0.6)·0.5+(-0.3) ·0.3 + 0·0.15+2.4·0.04+5.4·0.01 = -0.24
P(G<0)= 0.5 + 0.3 = 0.8
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
MEDIANA
•La mediana es el valor m que cumple:
푃푋≤푚≥0.5푦푃푋≥푚≥0.5
•Intuitivamente: Mediana es el valor que divide a la función de probabilidad en dos
partes iguales.
Mediana = 1.5
0.1250.125
0.375
0.375
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
VARIANZA
•Se define la varianza de una v.a.como:
PROPIEDADESOBSERVACIÓN
•Varianza de un conjunto de datos:
휎
2
=푉푋=퐸푋−휇
2
=
푖
(푥
푖
−휇)
2
푝푥
푖
=
푖
(푥
푖
)
2
푝푥
푖
−휇
2
=퐸푋
2
−휇
2
푣
2
=푓
푖
푥
푖
2
−lj푥
2
1.푉푎푟푎=0
2.푉푎푟푏푋=푏
2
푉푎푟푋
3.푉푎푟[푋+푌]=푉푎푟[푋]+푉푎푟[푌]+2퐶표푣[푋,푌]
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•Se define el coeficiente de variación de una v.a.X como:
OBSERVACIÓN
•Coeficiente de variación de un conjunto de datos:
•Este coeficiente es adimensional, mide la dispersión relativa de una v.a.y se da en %.
Se usa para comparar la dispersión entre dos v.a.distintas.
퐶푉(%)=
푣
ҧ푥
×100
퐶푉(%)=
휎
휇
×100
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
•Losmomentosdeunavariablealeatoriasonlosvaloresesperadosdeciertasfunciones
delavariable.
•Constituyenunconjuntodemedidasdescriptivasquepuedenemplearsepara
caracterizarladistribución.
•Sepuedencalcularmomentosrespectoalorigenymomentosrespectoalamedia.
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
•Momento de orden r respecto al origen:
•Momento de orden r respecto a la media:
퐸푋
푟
=
푖
(푥
푖
)
푟
푝푥
푖
퐸푋−휇
푟
=
푖
(푥
푖
−휇)
푟
푝푥
푖
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
EJEMPLO
•Una centralita telefónica tiene 5 líneas. Sea:
X = {número de líneas ocupadas en una hora}.
•Posibles valores de X: {0,1,2,3,4,5} .
•Supongamos que su función de probabilidad viene dada por:
•Calcular E[X] y Var[X].
x012345
P(X = x)0.140.270.270.180.090.05
MEDIDAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
EJEMPLO
Var[X]= (0 –1.96)
2
· 0.4 + (1 –1.96)
2
· 0.27 + (2 –1.96)
2
· 0.27 +
(3 –1.96)
2
· 0.18 + (4 –1.96)
2
· 0.09 + (5 –1.96)
2
· 0.05 = 1.82
•Otra forma decalcular la varianza:
E[X
2
] = 0
2
·0.4+1
2
·0.27+2
2
·0.27+3
2
·0.18+4
2
·0.09+5
2
·0.05 = 5.66
Var[X] = E[X
2
]-(E[X])
2
=5.66 -(1.96)
2
= 1.82
E[X] = 0·0.4 + 1·0.27 + 2·0.27 + 3·0.18 + 4·0.09 + 5·0.05 = 1.96
INDEPENDENCIA
DEFINICIONES
•Dos sucesos A y B son independientessi la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad
del otro, es decir:
푃
Τ
퐴퐵=푃퐴ó푃퐴∩퐵=푃퐴푃(퐵)
•Dos variables X e Y discretas serán independientescuando conocer el valor que toma una de
ellas, por ejemplo, X = 푥
푖
, no modifica la distribución de probabilidad de la otra variable, Y.
•Sean X e Y v.a.discretas con distribuciones de probabilidad respectivas:
푥
푖
,푃푋=푥
푖
푦푦
푖
,푃푌=푦
푖
Entonces, X e Y son independientessí y sólo sí:
푃
Τ
푌=푦
푖
푋=푥
푖
=푃푌=푦
푖
ó푃푋=푥
푖
∩{푌=푦
푖
}=푃푋=푥
푖
푃푌=푦
푖
para todo 푥
푖
, 푦
푖
MODELOS DISCRETOS
Prof. Juan José Martín Sotoca
Dep. de Matemática aplicada a las TIC
E.T.S.I.S.I. (Universidad Politécnica de Madrid)
Probabilidad y Estadística
(ETSISI –UPM)
Curso 25-26
MODELOS DISCRETOS
INTRODUCCIÓN
•MuchosprocesosenFísica,Ingeniería,etc.,queaparentementesonmuydiferentes,
puedensertratadosconelmismomodeloestadístico.
•Estosmodelosestadísticospuedenserclasificados,enunprimernivel,comodiscretosy
continuos.
•Losmodelosdiscretosquevamosaverenestasecciónson:
❑Modelouniforme.
❑ModeloBernoulli/binomial.
❑ModelosdePoisson.
MODELOS DISCRETOS
MODELO UNIFORME
•Una variable aleatoria discreta uniforme tiene n posibles valores 푥
1
,...,푥
푛
, que son:
•Equiprobables: 푝푥
푖
=
1
푛
(∀푥
푖
)
퐸푋=
1+2+3+4+5+6
6
=
21
6
=3.5
•Para valores enteros consecutivos se cumple:
퐸푋=
푥
1
+푥
푛
2
푉푎푟푋=
(푥
푛
−푥
1
+1)
2
−1
12
EJEMPLO (lanzar un dado)
MODELOS DISCRETOS
MODELO DE BERNOULLI
•Supongamos un experimento que sólo tiene dos resultados posibles:
Éxito / Fracaso
•Ejemplos:
• Artículo aceptable/defectuoso
• Cliente satisfecho/no satisfecho
• Conexión/bloqueo
• Votará/no votará
• Compra/no compra
•Incluso experimentos que no son intrínsecamente de Bernoulli pueden ser convertidos
en Bernoulli. Por ejemplo: si tenemos una variable que puede tomar varios valores
diferentes, siempre podemos escoger una partición de dos conjuntos.
MODELOS DISCRETOS
MODELO DE BERNOULLI
•Supongamos un proceso productivo que genera artículos que pueden ser defectuosos
o aceptables.
•Asignamos una variable aleatoria X
i
a cada artículo:
VARIABLE ALEATORIA DE
BERNOULLI
푋
푖
=ቊ
1sielartículoiesdefectuoso
0sielartículoinoesdefectuoso
MODELOS DISCRETOS
MODELO DE BERNOULLI
X
1
X
2
X
3
X
4
X
n
X
n+1
푋
푖
=푋=ቊ
1sielartículoiesdefectuoso
0sielartículoinoesdefectuoso
PX=1=p
PX=0=1−p
휇=퐸푋=
푖
푝푥
푖
∙푥
푖
=푝∙1+1−푝∙0=푝
휎
2
=푉푎푟푋=
푖
푝푥
푖
∙푥
푖
2
−휇
2
=푝(1−푝)
MODELOS DISCRETOS
MODELO BINOMIAL
X
1
X
2
X
3
X
4
X
n
X
n+1
푋
푖
=ቊ
1sielartículoiesdefectuoso
0sielartículoinoesdefectuoso
PX
i
=1=p
PX
i
=0=1−p
Tomamos una muestra de nartículos:
X = número de artículos defectuosos en n.
X ={ 0,1,2,3,4,...,n}
X = VARIABLE ALEATORIA
BINOMIAL
MODELOS DISCRETOS
MODELO BINOMIAL
X = variable aleatoria BINOMIAL se denota por 푋~퐵(푛,푝)
•El modelo BINOMIAL cuenta el número de éxitos que se producen en n experimentos
de Bernoulli independientes. Por lo tanto, X puede tomar los valores:
{0,1,2,3,...,n}
•Sus funciones de masa y distribución vienen dadas por las fórmulas:
퐹푥=푃푋≤푥=
푘≤푥
푝푘=
푛
0
푝
0
(1−푝)
푛
+
푛
1
푝
1
(1−푝)
푛−1
+⋯+
푛
푥
푝
푥
(1−푝)
푛−푥
푝푘=푃푋=푘=
푛
푘
푝
푘
1−푝
푛−푘
,푝푎푟푎푘=0,1,...,푛
MODELOS DISCRETOS
MODELO BINOMIAL
푛
푘
=
푛!
푘!(푛−푘)!
푝푘=푃푋=푘=
푛
푘
푝
푘
1−푝
푛−푘
,푝푎푟푎푘=0,1,...,푛
Número de opciones:
k éxitos en n
repeticiones
Probabilidad de
cada una de las
opciones
k éxitos
(probabilidad p)
n -k fracasos
(probabilidad 1-p)
MODELOS DISCRETOS
MODELO BINOMIAL
•X = X
1
+ X
2
+ X
3
+ ⋯+ X
n
, con X
1
, X
2
, X
3
, X
n
variables Bernoulli independientes.
•E[X] = E[X
1
+ X
2
+ X
3
+ ⋯+ X
n
] = ∑ E[X
i
] = n·p
•Var[X] = Var[X
1
+ X
2
+ X
3
+ ⋯+ X
n
] = ∑ Var[X
i
] = n·p·(1-p) = n·p·q
•Reproductividad: si 푋
1
~B(n
1
, p) y 푋
2
~B(n
2
, p) son independientes, entonces:
푋
1
+푋
2
~B(n
1
+ n
2
, p)
PROPIEDADES
MODELOS DISCRETOS
MODELO BINOMIAL
•Enunacompañíadeautobusesdisponendeunaflotade500autobuses.Cada
autobúsrequierede15díasalañodemantenimientoenlosquenopuededar
servicio.
•Senecesitan500autobusesparadarunserviciocorrecto.
X=númerodeautobusesdisponiblesparacircularden=500autobuses.
Supondremoslabinomial푋~퐵500,
365–15
365
=퐵(500,0.96)
EJEMPLO 1
MODELOS DISCRETOS
MODELO BINOMIAL
EJEMPLO 1
푝
(
500
)
=
푃
(
푋
=
500
)
=
50
0
500
0
.
96
50
0
(
1
−
0
.
96
)
0
=
7
.
27
∙
10
−
12
•¿Cuáleselnºmediodeautobusesquenosvamosaencontrarundíacualquiera?
E[X] = n·p= 500 x 0.96 = 479 autobuses
•¿Cuáleslaprobabilidaddequelacompañíadeunserviciocorrectoenundía
cualquieradelaño?
MODELOS DISCRETOS
MODELO BINOMIAL
EJEMPLO 2
•Unjugadorganacuandoobtieneun6allanzarundado.Dichojugadorlanza6vecesel
dado.Sequieresaber:
1.¿Cuáleslaprobabilidaddequenuncagane?.
2.¿Cuáleslaprobabilidaddequeganealmenosunavez?.
3.¿Cuáleselnºmediodelanzamientosganadoresquesevanaobtener?.
X=númerodejugadasganadorasenn=6lanzamientos.
Supondremoslabinomial푋~퐵6,
1
6
MODELOS DISCRETOS
MODELO BINOMIAL
EJEMPLO 2
푝
(
0
)
=
푃
(
푋
=
0
)
=
6
0
1
6
0
5
6
6
=
0
.
33
2. ¿Cuál es la probabilidad de que gane al menos una vez?.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que nunca gane?.
푃
(
푋
≥
1
)
=
1
−
푃
(
0
)
=
1
−
0
.
33
=
0
.
66
3.¿Cuáleselnºmediodelanzamientosganadoresquesevanaobtener?.
E[X] = n·p= 6·(1/6) = 1
MODELOS DISCRETOS
MODELO DE POISSON
•La variable aleatoria de Poissonse utiliza para modelar algunas situaciones como:
1.la llegada de usuarios a una ventanilla de atención,
2.el número de llamadas que recibe una centralita,
3.el número de erratas de una página, etc.
•El modelo de Poissoncuenta el nº de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo
o en una región del espacio.
DEFINICIÓN
MODELOS DISCRETOS
MODELO DE POISSON
12345
Soporte en el que se observan los sucesos: tiempo, longitud, superficie
Unidad de medida
•En un Proceso de Poissonlos sucesos aparecen con una media estable y de forma independiente
sobre un soporte continuo.
DEFINICIÓN
SucesosSucesos
Sucesos
Sucesos
Sucesos
MODELOS DISCRETOS
MODELO DE POISSON
12345
Soporte en el que se observan los sucesos: tiempo, longitud, superficie
•X = número de sucesos observados (p.e. defectos) en cada unidad de medida (tiempo, longitud, ...).
DEFINICIÓN
SucesosSucesos
Sucesos
Sucesos
Sucesos
푥
1
=2
푥
2
=2
푥
3
=1
푥
4
=3푥
5
=1
X = {0,1,2,....}
X es una VARIABLE ALEATORIA DE POISSON
MODELOS DISCRETOS
MODELO DE POISSON
X = variable aleatoria de POISSON se denota por 푋~푃(휆)
•휆=푓∙푇donde f es la frecuencia de llegada de sucesos y T es la unidad de medida.
•Función de probabilidad:
•Medidas características:
퐸[푋]=휆푉푎푟[푋]=휆
•Reproductividad: Sea X
1
y X
2
dos v. aleatorias de Poisson independientes: X1 ~P(λ
1
),
X2 ~P(λ
2
). Entonces Y = X
1
+ X
2
es también Poisson →Y ~P(λ
1
+λ
2
).
푝푘=푃푌=푘=
휆
푘
푘!
푒
−휆
,푝푎푟푎푘=0,1,2,...
MODELOS DISCRETOS
EJEMPLO 1
MODELO DE POISSON
•Unservidordeunapequeñaredrecibeunamediade7accesosporminuto.Suponer
quelosaccesosadichoservidorsucedendeformaindependienteyconunritmo
medioconstante.
•Sequierecalcularlaprobabilidaddequerecibamásde10accesosenunminuto,que
eselnúmerodeaccesosapartirdelcualelservidortendríaunrendimientodeficiente.
•Lavariablealeatoriaquecuentaelnúmerodeaccesosenunminutoes:X~P(λ=7)
푃푋>10=1−푃푋≤10=1−
푘=0
10
푃푋=푘=1−
푘=0
10
7
푘
푘!
푒
−7
=0.099
MODELOS DISCRETOS
EJEMPLO 2
MODELO DE POISSON
•Unsistemapararegularlacoladeimpresióndeunaimpresoracolectivasóloadmiteun
máximode4ficherosenlacoladeimpresión.Portanto,sillegan5omásficheros,la
colaobiensebloqueaosepierdenlosficherosquepasendelcuarto.Sesuponequela
llegadadeficherosaesaimpresorasigueunadistribucióndePoissondemedia2
ficherosporminuto.
1.¿Cuáleslaprobabilidaddequeenunminutolleguen5ómásficheros?
2.¿Cuáleslaprobabilidaddequeen3minutosnollegueningúnfichero?
MODELOS DISCRETOS
EJEMPLO 2
MODELO DE POISSON
1.¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen 5 ó más ficheros?
X = número de ficheros que llegan a la impresora en un minuto
X ~P(λ = 2)
P(X ≥5) = 1 –P(X≤4) = 1 –P(X = 0) –P(X = 1) –P(X = 2) –P(X = 3) –P(X = 4)
2. ¿Cuál es la probabilidad de que en 3 minutos no llegue ningún fichero?
Y = número de ficheros que llegan a la impresora en 3 minutos
Y ~P(λ = 2·3 = 6)
P(Y = 0) = 6
0
/0! · e
-6
= e
-6
MODELOS DISCRETOS
APROXIMACIÓN DE BINOMIAL
MODELO DE POISSON
•Enlaprácticanosencontraremosconsituacionesenqueseaplicaladistribución
binomialconunaprobabilidaddeéxitopequeñayngrande,entonces,ladistribución
binomialpuedeaproximarsemedianteladistribucióndePoisson.
•Desdeelpuntodevistapráctico,laaproximaciónesbuenacuandop<0.1yn>50.
•Enestoscasostomamos:
휆=푛푝
VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
(ANEXO)
Prof. Juan José Martín Sotoca
Dep. de Matemática aplicada a las TIC
E.T.S.I.S.I. (Universidad Politécnica de Madrid)
Probabilidad y Estadística
(ETSISI –UPM)
Curso 25-26
MODELOS DISCRETOS
MODELO GEOMÉTRICO
Contamos los artículos hasta que
observamos el primero defectuoso
X = Número de artículos hasta observar el primero con la característica deseada. X = {0,1,2,3,...}
X: VARIABLE ALEATORIA GEOMÉTRICA
MODELOS DISCRETOS
MODELO GEOMÉTRICO
X = variable aleatoria GEOMÉTRICA se denota por 푋~퐺(푝)
•El modelo GEOMÉTRICO cuenta el número de fallos hasta obtener el primer éxito en
experimentos de Bernoulli independientes. Por lo tanto, X puede tomar los valores:
푃(푋=푘)=(1−푝)
푘
푝
{0,1,2,3,...}
•Sus funciones de masa y de distribución vienen dadas por:
푃(푋≥푘)=(1−푝)
푘
푃푋≥푘=1−푃푋<푘
MODELOS DISCRETOS
MODELO GEOMÉTRICO
•Una característica del modelo geométrico es que no tiene memoria, es decir, habiendo
realizado “a” repeticiones del suceso, la probabilidad de que la característica A (éxito)
se presente a partir de la repetición “a+b” es igual a calcular la probabilidad de obtener
el éxito después de “b” repeticiones, olvidándose de que se han producido “a”
repeticiones sin éxito anteriormente.
PROPIEDADES
MEDIDAS
•E[X] = (1-p)/p
•Var[X] = (1-p)/p
2
MODELOS DISCRETOS
MODELO GEOMÉTRICO
•Untriplistadeunequipodebaloncestohacecanastadetrespuntosenel80%delos
intentosquerealiza.¿Cuáleslaprobabilidaddequeenunpartidologresuprimertriple
enelquintointento?.
•Lo que buscamos es que falle cuatro veces antes de encestar en el quinto tiro. Sabemos
que la probabilidad de encestar es de 0.8.
P(X = 4) = (0.2)
4
(0.8) = 0.00128
•La variable aleatoria que cuenta el número de tiros antes de alcanzar el éxito (hacer
canasta) se distribuye como una geométrica de parámetro 푝=0.8
EJEMPLO 1
MODELOS DISCRETOS
MODELO GEOMÉTRICO
EJEMPLO 2
•Laprobabilidaddequealtransmitirunbitdeinformaciónatravésdeuncanalde
transmisióndigitalseaerróneoesde0.1.Consideraquecadabittransmitidoesun
sucesoindependiente.Sedefinelav.a.Xcomoelnºdebitstransmitidoshastaque
sucedaelprimererror.¿Cuáleslaprobabilidaddequeelerrorseproduzcaenelquinto
bittransmitido?.
•La variable aleatoria que cuenta el número de bits antes de alcanzar el éxito (bit erróneo)
se distribuye como una geométrica de parámetro 푝=0.1
•Lo que buscamos es que haya 4 bits correctos antes del 5º bit erróneo.
P(X = 4) = (0.9)
4
(0.1) = 0.066
MODELOS DISCRETOS
MODELO GEOMÉTRICO
EJEMPLO 3
•LaempresaELECTRONICSS.A.fabricaobleasdesilicio.Laprob.dequeunaoblease
contamineensuproducciónes0.01.Seasumequelaproduccióndeobleasson
procesosindependientes.¿Cuáleslaprobabilidaddeque125obleasnecesitenser
analizadasantesdedetectarunacontaminada?.
•Lo que buscamos es que haya 124 obleas correctas antes de la 125º oblea contaminada.
P(X = 124) = (0.99)
124
(0.01) = 0.0029
•La variable aleatoria que cuenta el número de obleas antes de alcanzar el éxito (oblea
contaminada) se distribuye como una geométrica de parámetro 푝=0.01