TEMA 2
PROBABILIDAD
Prof. Juan José Martín Sotoca
Dep. de Matemática aplicada a las TIC
E.T.S.I.S.I. (Universidad Politécnica de Madrid)
Probabilidad y Estadística
(ETSISI –UPM)
Curso 25-26
•Unexperimentoescualquierprocesoqueproduzcaunaobservaciónoresultado.
CONCEPTOS BÁSICOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Experimentos deterministas
cada vez que se repite se
obtiene el mismo resultado
Experimentos aleatorios
no siempre se obtiene el mismo
resultado →INCERTIDUMBRE
TIPOS DE EXPERIMENTOS
DEFINICIÓN
•Nosinteresanenespeciallosexperimentosaleatorios,esdecir,aquellosenlosque
intervieneelazar.
•Vamosasuponerqueseverificanlassiguientescondiciones:
1.Puederepetirseindefinidamente,siempreenlasmismascondiciones.
2.Antesderealizarlonosepuedepredecirelresultadoquesevaaobtener
(aleatorio).
3.Elresultadoqueseobtengaperteneceaunconjuntopreviamenteconocidode
posiblesresultados.
CONCEPTOS BÁSICOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
•Lanzarunamonedayobservarsisalecaraocruz.
•Contarelnúmerodellamadasquelleganaunacentralitaenunahora.
•Lapuntuaciónresultanteenellanzamientodedosdados.
•Númerodefallosdeunordenadorduranteunmes.
EJEMPLOS
•EspacioMuestral(Ω):Elconjuntodetodoslos “acontecimientos”oresultadosdel
experimentoquepuedenproducirse.
EJEMPLOS
1) Si elexperimentoeslanzarunamonedaunavez,elespaciomuestrales:
Ω={C,X},dondeCindicaquesaliócarayXquesaliócruz.
2)Sielexperimentoeslanzarunamonedadosveces,elespaciomuestrales:
Ω={(C,C),(C,X),(X,C),(X,X)},donde(C,X)representaqueenlaprimeratiradasaliócarayenla
segundacruz.
CONCEPTOS BÁSICOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
•Probabilidad:Mideelgradodeincertidumbreconquesepresentancadaunodeestos
“acontecimientos”oresultados.
En el análisis de los experimentos aleatorios hay dos conceptos fundamentales:
•Cualquiersubconjuntoderesultadosdeunexperimentosedenominasuceso.
•Si Ω=휖
1
,...,휖
푛
:
❑Suceso elemental: losposiblesresultadosdelexperimentoocomponentesdelespacio
muestral(ε
i
).
❑Sucesocompuesto:cualquiersubconjuntodelespaciomuestralolasunionesdesucesos
elementales.
DEFINICIÓN
CONCEPTOS BÁSICOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
(휖
1
∪⋯∪휖
푘
)
Ωespacio muestral
Suceso compuesto
Suceso elemental
DIAGRAMAS DE VENN
CONCEPTOS BÁSICOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
•El experimento consiste en lanzar un dado.
❖SUCESO ELEMENTAL: los sucesos elementales son 1,2,3,4,5,6.
❖SUCESO COMPUESTO: sacar un número par, A = {2,4,6}.
CONCEPTOS BÁSICOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
EJEMPLO
•Se llama suceso contrario(complementario)
de un suceso A, al formado por los sucesos
que no están en A. Se expresa como 퐴
푐
o
ҧ
퐴.
•El suceso seguro, Ω, es aquel que siempre ocurre al realizar el
experimento.
•El suceso imposible, Ø, es aquel que nunca ocurre como resultado del
experimento.
Ωespacio muestral
A
OPERACIONES CON SUCESOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
DEFINICIONES
ҧ
퐴
•Se llama suceso intersecciónde A y B, A ∩ B,
al formado por los resultados que están
simultáneamente en A y B.
•Se dice que dos sucesos A y B son incompatiblessi no
pueden ocurrir a la vez, es decir, A ∩ B = Ø.
Ωespacio muestral
A
B
Ωespacio muestral
A
B
OPERACIONES CON SUCESOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
DEFINICIONES
•Se llama suceso uniónde A y B, A U B, al suceso
formado por los resultados que están en A o en B
(incluyendo los que están
en ambos)
•Se llama suceso diferenciade A y B, A -B, al formado por todos los sucesos de A
que no están en B, es decir, A ∩
ത
퐵
Consecuencia:
ҧ
퐴= Ω−퐴
Ωespacio muestral
A
B
Ωespacio muestral
A
B
OPERACIONES CON SUCESOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
LEYES DE MORGAN
•Hay ciertas propiedades de la unión, intersección y suceso contrario que son conocidas
bajo las leyes de Morgan.
OPERACIONES CON SUCESOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
AUB=
ҧ
퐴∩
ത
퐵
A∩B=
ҧ
퐴U
ത
퐵
•Sea E (o también 훀) el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se llama
espacio de sucesosal conjunto Sformado por todos los sucesos (elementales y
compuestos) incluidos el suceso imposible y el suceso seguro.
DEFINICIÓN
MÁS PROPIEDADES
OPERACIONES CON SUCESOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Conmutativa :
A B B A
=
A B B A
=
;
A
A A
=
=
;
A E E A E A
=
=
Asociativa:
(
)
(
)
A B
C A
B C
=
(
)
(
)
A B
C A
B C
=
A
A A
A
A A
=
=
Distributiva:
(
)
(
)
(
)
A
B C
A B
A C
=
(
)
(
)
(
)
A
B C
A B
A C
=
(
)
(
)
,
cualquiera
A
A B
A B B
=
(importante en problemas)
Leyes de De Morgan:
A B A B =
A B A B =
;AA E AA = =
E = espacio muestral
E = espacio muestral
EJEMPLO
•Hallar el espacio muestral del experimento aleatorio lanzar dos veces un dado (es lo
mismo que lanzar dos dados iguales a la vez).
Si A, B y C son sucesos definidos por:
A = { el primer resultado es 2},
B = { el segundo resultado es 2}
C = { la suma de los resultados es 5}.
•Caracterizar: A ∩ B, A U B,,
ҧ
퐴∩
ത
퐵,(A U B) ∩
ҧ
퐶,, A U (B ∩
ҧ
퐶)
OPERACIONES CON SUCESOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
•Ω ={ (1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,1),..., (3,1), ..., (6,5), (6,6)}
•A = { (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) };
•B = { (1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2) }
•C = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.
•A ∩ B = { (2,2) },
•A U B = { (1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2) }
•
ҧ
퐴∩
ത
퐵= AUB= {ninguno de los resultados es dos}
EJEMPLO
∪ = “o” lógico
∩ = “y” lógico
Complementario = “no” lógico
OPERACIONES CON SUCESOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
•(A U B) ∩
ҧ
퐶= {(alguno de los resultados es 2), y la suma no es 5 } =
{ (1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2) }
•A U (B ∩
ҧ
퐶) = { o bien (el primer resultado es 2), o bien (el segundo es 2 y la suma no es 5) }
= A U { (1,2),(2,2),(4,2),(5,2),(6,2) } =
= { (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(4,2),(5,2),(6,2) }
EJEMPLO
•Ω ={ (1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,1),..., (2,6), (3,1), ..., (5,6), (6,6)}
•A = { (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) };
•B = { (1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2) }
•C = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.
OPERACIONES CON SUCESOS
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
•Es un hecho empíricamente comprobado que, sí se repite un experimento sucesivamente
(n veces), bajo las mismas condiciones, la frecuencia relativa:
converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad:
•Es esta proporción (o frecuencia relativa) a largo plazo la que se tiene en mente cuando se
habla de probabilidad de un suceso.
푓
푛
퐴
=
푛
º
푑
푒
푣
푒
푐
푒
푠
푞
푢
푒
표
푐
푢
푟
푟
푒
퐴
푛
푃
퐴
=
lim
푛
→
∞
푓
푛
(
퐴
)
DEFINICIÓN
Enfoque
frecuentista
PROBABILIDAD CLÁSICA
•Así definida se pueden deducir las siguientes propiedades básicas que poseen las
probabilidades:
1.Para cualquier suceso A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
2.P(A) =
3.P(Ω) = 1
4.Si A y B son sucesos incompatibles, entonces: P(A U B) = P(A) + P(B)
푃
(
휖
푖
)
푖
:
휖
푖
∈
퐴
PROBABILIDAD CLÁSICA
•A partir de las propiedades anteriores pueden deducirse otras:
1.P(
ҧ
퐴) = 1-P(A)
2.P(Ø) = 0
3.Si A’ es un subconjunto de A, entonces P(A -A’) = P(A) –P(A’)
4.P(B –A) = P(B) –P(A ∩ B)
5.P(A U B) = P(A) + P(B) –P(A ∩ B)
PROBABILIDAD CLÁSICA
EJEMPLO
•Unamáquinahaproducido50piezasdelTipoIy200delTipoII.Cadaunadeestas
piezaspuedeserdefectuosaoaceptable.Ladistribuciónbivarianteeslasiguiente:
P(Defectuoso) = 20/250 = 0.08
•Si seleccionamos un artículo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
•Si seleccionamos un artículo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del Tipo II?
P(Tipo II) = 200/250 = 0.80
PROBABILIDAD CLÁSICA
EJEMPLO
•Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas
puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariantees la siguiente:
•Un comprador quiere una pieza del Tipo II que funcione. Se extrae una pieza al azar de las
250, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza NO VÁLIDA, es decir, que sea de Tipo I o
que sea defectuosa?
PROBABILIDAD CLÁSICA
EJEMPLO
•Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas
puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariantees la siguiente:
Solución 1:
P{no (Aceptable ∩ Tipo II)} = P(Defectuosa U Tipo I) = P(Defectuosa) + P(Tipo I) -P(Defectuosa
∩ Tipo I) =
20
250
+
50
250
−
4
250
=0.264
PROBABILIDAD CLÁSICA
EJEMPLO
•Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas
puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariantees la siguiente:
Solución 2:
P(no vale) = 1-P(vale) = 1 -P(Aceptable ∩ Tipo II) = 1 -
184
250
=
0
.
264
PROBABILIDAD CLÁSICA
DESCRIPTIVA
PROBABILIDAD CLÁSICA
Valoresque puede tomar la
variable estadística
Medir la variable estadística de
unindividuo
Realizar unexperimento
Resultadosdel
experimento
Nº de individuoscon una
determinada propiedad (valor
de la v. estadística)
Nº de experimentoscon un
determinado resultado
Sucesos
Nº de experimentos
Nº de individuos
PROBABILIDAD CLÁSICA
Probabilidad
Frecuencia relativa
Que verifica:
1.Cualquiera que sea el suceso A, P(A) ≥ 0.
2.La probabilidad total es 1. Es decir, P(Ω)= 1.
3.Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus
probabilidades.
Es decir, si A ∩ B= Ø, entonces P(A U B) = P(A) + P(B).
Observación: esta última propiedad se generaliza a cualquier número de sucesos disjuntos:
•SeaΩelespaciomuestraldeciertoexperimentoaleatorioySelespaciodesucesos
asociadoalmismo.LaprobabilidaddecadasucesoAsedefinecomounafunción:
P: S →[0,1]
DEFINICIÓN (Kolmogorov)
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
•La terna (Ω, S, P) se llama ESPACIO PROBABILÍSTICO.
푃
ራ
푖=1
n
퐴
푖
=
푖=1
n
푃퐴
푖
,푠푖퐴
푘
∩퐴
푗
=∅,푝푎푟푎푡표푑표푘,푗=1,...,푛
•Enalgunassituaciones,ladefinicióndelexperimentoaseguraquetodoslossucesos
elementalestienenlamismaprobabilidaddeocurrir.Enestecaso,sedicequeelespacio
muestralesequiprobable.
•Sielespaciomuestralesequiprobableycontienensucesoselementales,Ω=휖
1
,...,휖
푛
,
luegosetieneP(휖
푖
)=1/n,parai=1,2,...,n.
•ParacualquiersucesoA=휖
1
,...,휖
푘
,entonces,laprobabilidaddeAes:
P(A) = (número de sucesos elementales en A) ×1/n = k/n.
O,enformaequivalente:
ESPACIOSEQUIPROBABLES(regladeLaplace)
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
푃퐴=
푛º푑푒elementosde퐴
nºdeelementosdeΩ
=
nºderesultadosfavorablesa퐴
nºderesultadosposibles
EJEMPLOS
1)Lanzamiento de una moneda: Ω = {C,X} → P(C)=1/2 = P(X)
2)Lanzamiento de un dado: Ω = {1,2,3,4,5,6} → P(3) = 1/ 6
3)Extracción de cartas de la baraja:
Ω= {As de copas, dos de copas....}
P(Sacar una carta de oros) = 10 / 40
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
EJEMPLO 1
•Supongamos que lanzamos dos veces una moneda equilibrada (es lo
mismo que lanzar dos monedas iguales al aire a la vez).
•Tenemos entonces cuatro sucesos elementales,
Ω = (C,C), (C,X), (X,C), (X,X)
donde cada suceso tiene probabilidad ¼.
•Entonces, la probabilidad de observar el suceso A = exactamente una
es cara, sería P(A) = P({(C,X), (X,C)}) = P((C,X)) + P((X,C)) = 2· ¼ = ½
•Además, la probabilidad de que la primera tirada sea cara es P(B) =
2/4 = ½
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
CC
C
X
X
X
C
X
EJEMPLO 2
•En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará
si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
•¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
A → Rechazar el lote = Encontrar dos defectuosos
푃
퐴
=
푛
º
푑
푒
푟
푒
푠
푢
푙
푡
푎
푑
표
푠
푓
푎
푣
표
푟
푎
푏
푙
푒
푠
푛
º
푑
푒
푟
푒
푠
푢
푙
푡
푎
푑
표
푠
푝
표
푠
푖
푏
푙
푒
푠
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
COMBINATORIA
De cuantas maneras
puedo seleccionar
dos defectuosos
De cuantas maneras
puedo seleccionar
dos ordenadores
N = letras del abecedario
Palabras de N letras
(sin repetición)
Palabras de k letras
(sin repetición)
(SI importa el orden)
Palabras de k letras
(sin repetición)
(NO importa el orden)
COMBINATORIA
퐶
푛
푘
=
푛
푘
(SIN REPETICIÓN)
(SI IMPORTA EL ORDEN)
(NO IMPORTA EL ORDEN)
SIN REPETICIÓN CON REPETICIÓN
IMPORTA EL ORDEN
VARIACIONES
푉
푛
푘
=
푛!
푛−푘
!
푉푅
푛
푘
=푛
푘
NO IMPORTA EL
ORDEN
COMBINACIONES
퐶
푛
푘
=
푛
푘
=
푛!
푘!
푛−푘
!
퐶푅
푛
푘
=
푛+푘−1
푘
Si 푛=푘→ Permutaciones
COMBINATORIA
EJEMPLO 2
•¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 ordenadores de entre todos los que hay?
푃
퐴
=
푐푎푠표푠 푓푎푣표푟푎푏푙푒푠
푐푎푠표푠 푝표푠푖푏푙푒푠
퐶
9
2
=
9
!
2
!
9
−
2
!
=
9
!
2
!
7
!
=
9
×
8
2
=
36
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
EJEMPLO 2
•¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos de entre los tres que hay?
푃
퐴
=
푐푎푠표푠 푓푎푣표푟푎푏푙푒푠
푐푎푠표푠 푝표푠푖푏푙푒푠
퐶
3
2
=
3!
2!
3−2
!
=3
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
EJEMPLO 2
•¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
푃
퐴
=
푛
º
푑
푒
푟
푒
푠
푢
푙
푡
푎
푑
표
푠
푓
푎
푣
표
푟
푎
푏
푙
푒
푠
푛
º
푑
푒
푟
푒
푠
푢
푙
푡
푎
푑
표
푠
푝
표
푠
푖
푏
푙
푒
푠
=
3
36
=
1
12
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
EJEMPLO 3
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
EJEMPLO 3
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
퐶
4
2
=
퐶
4
3
=
퐶
52
5
=
•LAPROBABILIDADDEUNSUCESODEPENDEDELAMAYOROMENORINFORMACIÓNQUE
TENGAMOS.
EJEMPLO
Unapersonaextraeunacartaalazardeunabarajaespañolaylacolocabocaabajosobrela
mesa.
o¿Quéprobabilidadtienedeserunrey?P(REY)=
4
40
oYsialguienlahamiradoynosdicequeesunafigura,¿quéprobabilidadtienedeserunrey?.
Laprobabilidadcambia:
P(REY/SABIENDOQUEESFIGURA)=
4
12
PROBABILIDAD CONDICIONADA
•PROBABILIDAD DE A CONDICIONADA A B (SABIENDO QUE HA SUCEDIDO B):
)
(
)
(
)
|
(
B
P
B
A
P
B
A
P
=
•P (rey | sabiendo que es figura) = P(rey y figura) / P(figura) = = P(rey) / P (figura) =
Τ
4
40
Τ
12
40
=
4
12
DEFINICIÓN
PROBABILIDAD CONDICIONADA
EJEMPLO
REGLA DE LA PROBABILIDAD COMPUESTA (REGLA DE LA INTERSECCIÓN)
DEFINICIÓN
PROBABILIDAD CONDICIONADA
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P
=
)
(
)
|
(
A
P
B
A
P
=
•En este caso se cumple:
INDEPENDENCIA
DEFINICIÓN
•Dos sucesos se dicen independientescuando la ocurrencia de alguno de ellos NO nos da
información nueva sobre la ocurrencia de otro. Dos sucesos son independientes si se
cumple:
PROBABILIDAD CONDICIONADA
EJEMPLO
Cara
Cruz
Negra
Blanca
Blanca
Negra
P(Blanca) =P(Cara ∩Blanca) + P(Cruz ∩Blanca) = 1/2 x 3/5 + 1/2 x 1/5 = 2/5
P(Cara)
P(Cruz)
P(Blanca | Cara)
P(Blanca | Cruz)
P(Cara y Blanca) =
P(Cara ∩Blanca) = 1/2 x 3/5
P(Cruz y Blanca) =
P(Cruz ∩Blanca) = 1/2 x 1/5
ÁRBOL DE PROBABILIDAD
P(Cara ∩Negra)
P(Cruz ∩Negra)
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
푨
ퟏ
푨
ퟐ
B
B
El teorema de la probabilidad total es útil cuando el experimento aleatorio consta de 2 etapas
tales que:
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
•Los sucesos 푨
ퟏ
y 푨
ퟐ
pueden interpretarse como las distintas causas (o circunstancias)
por las que puede ocurrir el suceso B. Entonces el teorema de la probabilidad total viene
a decir que:
INTERPRETACIÓN
Si el suceso Bpuede ocurrir por alguna de las causas 푨
풏
, la probabilidad de que
ocurra es la suma de las probabilidades de las causas (P(푨
풏
)) por la probabilidad
del suceso Bcondicionado a la causa (P(B/푨
풏
)).
El teorema de la probabilidad total es útil cuando el experimento aleatorio consta de 2 etapas
tales que:
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
•Si conocemos P(B|퐴
푖
), ¿cómo podemos calcular P(퐴
푖
|B)?
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
B
P
A
P
A
|
B
P
=
B
P
B
A
P
=
B
|
A
P
i
i
i
i
TEOREMA DE BAYES
(
)
(
)
(
)
i
i
i
A
P
B
A
P
=
A
|
B
P
푃 퐴
푖
∩퐵 =푃퐵/퐴
푖
푃 퐴
푖
•El teorema de la probabilidad total proporciona P(B) y el de BayesP(퐴
푖
| B).
OBSERVACIÓN
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 1
•UnafábricadesemiconductoresproduceunlotedememoriasRAM.Sepuedenmedirlosniveles
decontaminaciónpresentesenelprocesodefabricación.Sehamedidoqueelporcentajede
memoriasdefectuosas(fallidas)enunambientedealtacontaminaciónesdel10%,enun
ambientedemediacontaminaciónesdel1%yenunambientedebajacontaminaciónesdel
0.1%.Tambiénseconocequeel20%delasmemoriasseprodujoenunambientedealta
contaminación,el30%enunambientedecontaminaciónmediayel50%enbajacontaminación.
•Hsignificaquelamemoriaseexpusoanivelesaltosdecontaminación.
•Msignificaquelamemoriaseexpusoanivelesmediosdecontaminación.
•Lsignificaquelamemoriaseexpusoanivelesbajosdecontaminación.
TEOREMAS PROBABILIDAD
•Seseleccionaunamemoriaalazardetodoelloteproducido.¿Cualesla
probabilidaddequeseadefectuosa(fallida)?.
EJEMPLO 1
ÁRBOL DE PROBABILIDAD
TEOREMAS PROBABILIDAD
•Seseleccionaunamemoriaalazarysecompruebaqueesdefectuosa,¿Cualesla
probabilidaddequelamemoriaprocedadeunambientedealtacontaminación?.
EJEMPLO 1
TEOREMAS PROBABILIDAD
EJEMPLO 2
•Un curso de estadística está formado por tres grupos: A (30%), B (10%) y C (60%). En la
calificación final del curso los porcentajes de suspensos para cada uno de los grupos
fueron 20%, 40% y 5% respectivamente.
•Calculemos:
1. La probabilidad de que un alumno elegido al azar haya suspendido.
2. La probabilidad de que un alumno que haya aprobado sea del grupo A.
3. Si un alumno elegido al azar está suspenso, ¿a qué grupo es más probable que
pertenezca?.
TEOREMAS PROBABILIDAD
B
C
0.1
0.3
0.6
Suspenso
Aprobado
Suspenso
Aprobado
Suspenso
Aprobado
•Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya suspendido.
ÁRBOL DE PROBABILIDAD
EJEMPLO 2
A
TEOREMAS PROBABILIDAD
1.Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total obtenemos la probabilidad de que un
alumno elegido al azar haya suspendido.
P(S) = P(S | A)P(A) + P(S | B)P(B) + P(S | C)P(C) =
= 0.2 · 0.3 + 0.4 · 0.1 + 0.05 · 0.6 = 0.13
Obs.: La probabilidad de que un alumno elegido al azar haya aprobado :
P(AP) = 1 - P(S) = 0.87
EJEMPLO 2
TEOREMAS PROBABILIDAD
푃 퐴|퐴푃 =
푃 퐴∩퐴푃
푃 퐴푃
=
푃 퐴푃|퐴 ·푃 퐴
푃 퐴푃
=
0.8·0.3
0.87
=0.275
B
C
0.1
Suspenso
Aprobado
Suspenso
Aprobado
Suspenso
Aprobado
2. La probabilidad de que un alumno que haya aprobado sea del grupo A.
Aplicando el Teorema de Bayes:
A
EJEMPLO 2
TEOREMAS PROBABILIDAD
3. Si un alumno elegido al azar está suspenso, ¿a qué grupo es más probable que pertenezca?.
Pista: comparar P(A|S), P(B|S), P(C|S).
EJEMPLO 2 (CLASIFICADOR BAYESIANO)
TEOREMAS PROBABILIDAD
푃퐴푆=
푃푆퐴푃 퐴
푃 푆
=
0.2∙0.3
푃 푆
=
0.06
푃 푆
푃퐵푆=
푃푆퐵푃 퐵
푃 푆
=
0.4∙0.1
푃 푆
=
0.04
푃 푆
푃퐶푆=
푃푆퐶푃 퐶
푃 푆
=
0.05∙0.6
푃 푆
=
0.03
푃 푆
Conclusión:푃퐴푆>푃퐵푆>푃퐶푆
En particular: 푃퐴푆= 0.06/0.13 = 0.46
P(A|S), P(B|S), P(C|S) se denominan probabilidades “a posteriori”.
P(A), P(B), P(C) se denominan probabilidades “a priori”.
Es más probable que
sea del grupo A